Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti ragazzi non riesco a capire come svolgere questo esercizio sui piani
si considerino le rette $ r: { ( x-z+1=0 ),( y-2=0 ):} $ e $ s: { ( y-z-1=0 ),( x-y=0 ):} $ .
Si determinino le equazioni cartesiane e quelle parametriche della retta appartenente al piano
$ y=z $ che sia incidente con $ r $ ed ortogonale a $ s $ .
Siccome la retta è contenuta nel piano y=z ho pensato di trovare un piano che interseca y=z e passante per il punto
(1,2,2) che dovrebbe essere il ...
Salve a tutti,
volevo più una conferma o delucidazione su questa proprietà:
- if a system of p vectors is linearly dependent, then at least one of these vectors is linearly expressed through others -
che tradotto sarebbe:
- se un sistema di p vettori è linearmente dipendente, allora almeno un vettore del sistema è combinazione lineare degli altri -
ebbene, la proprietà è semplice ma volevo sapere come mai in un testo trovo la condizione ...
Buongiono a tutti, sto avendo difficoltà con un esercizio e volevo chiedervi un aiuto.
Mi chiede, data la retta r
-x - y - z= -1
x - y - z= 1
studiare la posizione rispetto al piano π per S(2; 0; -2) parallelo al piano xz.
Come dovrei procedere??? Ho scritto la retta r in forma parametrica, cioè
x= 1
y= -1 - 2t
z= 1 + 2t
Poi so che il piano π essendo parallelo al piano xz ha equazione by + d=0 e il suo vettore direzione sara n(0; m; 0). Però non so che valore di m dovrei usare. Lo scelgo a ...
Parto da un teorema che nelle dispense che sto utilizzando in questi giorni viene verificato in modo semplice:
sia $A \in M_{h \times n}(\mathbb{K})$ e $B \in M_{n \times t}(\mathbb{K})$ e $L_A : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^h$ e $L_B : \mathbb{K}^t \to \mathbb{K}^n$ le corrispondenti applicazioni lineari. Allora
\begin{equation*}
L_A \circ L_B = L_{AB}
\end{equation*}
Il testo dimostra il teorema osservando che vale l'uguaglianza sui vettori della base canonica di $\mathbb{K}^t$. Immagino questo sia dovuto al fatto che fissate le immagini di una base, ...
Buongiorno a tutti.
Un esercizio mi chiede di determinare le soluzioni del sistema
Kx + ky + Kz= K
x + Ky + Kz= 1
x + y + Kz= 1
illustrando il loro significato geometrico per ogni K.
Per risolverlo ho scritto il sistema sotto matrice e ho calcolato il rango della matrice incompleta che mi da per:
K=0 Rank(A)= 2
K=1 Rank(A)= 1
K diverso da 0 e 1 Rank(A)=3
per la matrice completa ottengo lo stesso rango per i diversi valori di K. Quindi per Rouchè-Capelli il sistema è determinato e ...
Salve a tutti ragazzi, non riesco a risolvere questo esercizo
L'equazione $ 3x^2-5xy-2y^2+x+5y-2=0 $ rappresenta una conica riducibile.
Determinare le equazioni delle rette in cui essa si decompone.
La risposta è : $ x-2y+1=0 $ e $ 3x+y-2=0 $
ho provato sia mettendo in evidenza e sia con la formula risolutiva
scrivendo l'equazione in questo modo
$ 3x^2 +(-5y+1)x +(-2y^2+5y-2)=0 $
e risolvendo con la formula risolutiva ma non sono riuscito ad ottenere le 2 rette date dalla soluzione del ...
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio presente sul mio libro
Nel piano euclideo ampliato sia dato il fascio di coniche
$ 4x^2+4xy+ky^2 +4x-10y-1-k=0 $
Di tale fascio si determinino i punti base, le coniche riducibili ed eventuali tangenti a tutte le coniche.
Ho studiato il sistema e ho trovato in questo modo i punti base
ho messo a sistema dopo aver trasformato in coordinate omogenee
$ { ( x2^2-x3^2=0 ),( 4x1^2+4x1x2+4x1x3-10x2x3-x3^2=0 ):} $
da cui
$ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+4x1x3+4x1x3-10x3^2-x3^2=0 ):} $
e ancora $ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+8x1x3-11x3^2=0 ):} $
utilizzando il ...
Testo: sia $V$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale. Sia
\begin{equation*}
F_{A} : V_{\mathbb{K}} \to \mathbb{K}^n
\end{equation*}
dove $A = \{\underline{a}_1, \ldots, \underline{a}_n\}$ e' una base di $V_{\mathbb{K}}$. Si trovi se $F_{A}$ sia iniettiva.
La linearita' e' piuttosto semplice da vedere se $A$ e' la base canonica. Se invece $A$ e' una base qualsiasi la scrittura mi pare diventi piu' arzigogolata. Io lo dimostrerei proprio nel modo ...
salva a tutti. ecco degli esercizi che non riesco a svolgere
1)per quali valori del parametro $a$ la matrice $A$=$((2,-2,-2),(a,0,-a),(0,2,0))$ è triangolarizzabile /diagonalizzabile?
io svolgo il determinante di $A-\lambda$ ma non mi viene, ottengo: -$\lambda(\lambda^(2)+4a-2\lambda)=0$ e quindi non riesco a trovare gli autovalori .
un autovalore è $0$ ma gli altri?
non riesco a scomporre la quantità $(\lambda^(2)+4a-2\lambda)$... help!
problema simile per un altro esercizio.
2)per ...
Innanzitutto volevo ringraziare nuovamente killing_buddha e j18eos per avermi consigliato le dispense del Prof. Candilera e lo Spivak.
Definiamo l'applicazione \(\text{Alt}:\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\to\wedge ^{r}\mathbf{V}^{\breve{}} \), come fa il testo che sto seguendo io, il Sernesi, per ogni $r$-tensore \(F\in\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\), nel modo seguente:\[\text{Alt}(F)=\frac{1}{r!}\sum_{\pi\in\sigma_r} \epsilon(\pi) F^{\pi}\](dove \(\pi\in\sigma_r\) è ...
Ciao, amici! Rompo le scatole qua per una questione di collegamento tra geometria ed analisi. Io conoscevo il teorema della divergenza di Gauss come -sotto le opportune ipotesi-\[\int_{X}\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\int_{\partial X}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(u,v))·(\boldsymbol{r}_u(u,v)\wedge\boldsymbol{r}_v(u,v))\text{d}u\text{d}v \]dove \(\boldsymbol{r}\) sono equazioni parametriche della superficie.
Sul mio testo di geometria trovo l'espressione come (rinomino le ...
ciao ,
da cosa deriva il fatto che un applicazioni lineari ha come immagine polinomi di primo grado senza termine noto?
Ho cercato ovunque.. ma non sono riuscito a capire l'intersezione di due spazi vettoriali... è possibile una dimostrazione con i dati di sotto:
V e W sottospazi di $R^4$
$V = {(x,y,z,t) є R^4 : y+z+t = x+y-z=0}$
$W =<(-1,-1,0,-1),(-1,1,0,1),(3,1,0,1)>$
Grazie!!
La composizione di omomorfismi e' un omomorfismo. Verificare che valga la proprieta' associativa (?)
Non ho alcun problema a dimostrare che la composizione di due omomorfismi fra spazi vettoriali sia ancora un omomorfismo -e quindi lo stesso posso dire della composizione di tre o piu' omomorfismi. Tuttavia, le dispense sulle quali sto studiando lasciano al lettore una strana verifica: associativita' e distributivita'. Ma mi chiedo, se volessi verificare che
\begin{equation*}
h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \qquad f \in Hom(U,V),\; g \in Hom(V,W),\; h \in ...
ciao a tutti
ecco un esercizio che non riesco ad impostare
tra le parabole tangenti nel vertice $O=(0,0)$alla retta $x+y=0$ cercare quella tale che il punto$( 2,0)$ abbia polare $x=3y+2$
come scrivo il fascio di parabole?non capisco quali sono i punti base
Sia $L: R_1[t]->R^3$ l'applicazione lineare data da $L(a+bt) = (-a, b+a, 7b)$
(1) Determinare nucleo ed immagine di L
E poi ci sono altre 2 domande, ma per il momento m'interessa questa perchè penso che se capisco questa capisco anche le altre. Noi abbiamo fatto esercizi solo con vettori e matrici...
Non abbiamo mai fatto esercizi del genere dove c'è il polinomio...
Allora io non capisco cosa sarebbe questo (a+bt)... E' una base?
Di solito leggo L(x,y) o L(t) ma questo (a+bt) proprio non lo capisco ...
non riesco a risolvere gli esercizi del tipo indicato, ovvero mi è data una matrice dipendente da un parametro al variare del quale devo discutere la diagonalizzabilità.
ho letto gli altri topic ma applicando i procedimenti agli esercizi fallisco miseramente =)
Il procedimento che seguo è il seguente:
1) osservo se per qualche scelta del parametro la matrice è simmetrica, in tal caso infatti sarebbe sicuramente diagonalizzabile.
2) scrivo la matrice $A-\lambdaI$ e guardo se attraverso ...
Salve a tutti. Ho bisogno di un confronto e di un aiuto riguardo le coniche in $P^2(KK)$. Riporto la traccia:
Sono date le seguenti coniche:
$C_1 : X_0^2-2X_1^2-X_0X_1+X_1X_2+X_0X_2=0$ e $C_2 : X_0^2+2X_1^2+X_2^2-2X_0X_1-2X_1X_2=0$
1.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(RR)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
2.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(CC)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
3.Determinare una conica di $P^2(RR)$ proiettivamente ...
l'ho scritto con le formule spero possiate aiutarmi:
fissata la matrice A= $((2,0),(1,1))$ dello spazio vettoriale $RR2,2$
1)stabilire che V=(X $in$ $RR2,2$ |AX=XA) è un sottospazio di $RR2,2$.
2)scrivere le equazioni nella base naturale di $RR2,2$ di V, determinare dimensione ed una base
3)determinare un supplementare W di V in $RR2,2$
4)esprimere la matrice B=$((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W.
Calcolare l'equazione di tutte le sfere contenenti
\(\displaystyle \gamma \) : z=0 \(\displaystyle \cap \) x^2+y^2+z^2=1
Come si procede in questo tipo di esercizi?
grazie
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