Una forma differenziale chiusa non esatta

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Per questa volta rompo le scatole con un esercizio... Dovrei dimostrare che la forma differenziale su \(\mathbb{R}^2\setminus\{\mathbf{0}\}\)\[\omega=\Big(\frac{-y}{x^2+y^2}\Big)\text{d}x+\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big)\text{d}y\]non è esatta. Tuttavia mi pare che la funzione $\theta(x,y)=-\arctan(x/y)$ abbia per derivate parziali proprio i coefficienti della forma differenziali e che $\omega=\text{d}\theta$... o do i numeri?
Si tratta dell'es. 45.1 di E. Sernesi, Geometria 2.
\(\infty\) grazie a tutti!!!!

[apatriarca]

Ma la tua funzione non è definita su tutto il dominio...

[Maci86]

Che angolo assumi in $(0,0)$?

Quella forma è localmente esatta, se prendi un cammino chiuso al cui interno si trovi l'origine questo ti darà un integrale pari a $pi$ e non a zero

[DavideGenova1]

Ah ah, ero probabilmente un po' stanco e non mi sono accorto che \(\omega(p)=\text{d}\theta(p)\in T_p(\mathbb{R}^2)^{\breve{}} \) può valere solo per \(p\in\{p=(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\ne 0\}\)...
Grazie a tutti, ragazzi, per l'aiuto!!!