Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, sto incontrando diverse difficoltà nel calcolo di una base del nucleo e dell'immagine della seguente trasformazione lineare:
\(\displaystyle T: \mathbb{Q}[x]_{
Salve, un esercizio richiesto all'esame di matematica all'università è uno sulle matrici. Un esempio di questa tipologia di esercizi è il sueguente:
Siano :
A= 2 -1 k
1 -1 1
k 0 1
b= 0
0
k
x=x1
x2
x3
Studiare, al variare di K € R il sistema Ax=b
Io non ci ho capito nulla di questi esercizi. Gentilmente qualcuno può aiutarmi a comprenderli, dicendomi in maniera dettagliata tutti i passaggi per trovare la ...
Salve a tutti,
vorrei soltanto una conferma, purtroppo il mio libro lo cita a sproposito senza dare una definizione ed io vorrei soltanto una conferma:
"Definizone":siano dati \( f: E \to F \) un elemento di \( Hom_K(E,F)\), \( a \in K \), ed \( a \cdot f : E \to F \), dicesi che \( a \cdot f \) è opposto di \( f \), ed indicasi con la scrittura \( -f: E \to F \), se \( a = (-1) \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Salve a tutti,
volevo sapere come si indica l'omomorfismo (tra due spazi vettoriali su uno stesso corpo commutativo) nullo..!!
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Data una certa applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^3$ diagonalizzabile è possibile trovare 4 matrici diagonali distinte tutte associate alla stessa $f$? Se sì, come?
Grazie.
Salve a tutti;
mi sono imbattuto nel seguente problema, che è in realtà di progettazione ingegneristica, ma che è riconducibile ad un problema geometrico (che mi ha messo in difficoltà).
Ho bisogno di disporre dei quadratini (canali, ovvero pori) all'interno di una circonferenza, di modo che il rapporto tra ''vuoti e pieni'' (la superficie occupata da un quadratino è un 'vuoto', un canale attraverso cui passa aria; pieno è il resto della superficie della circonferenza, non occupata da ...
Salve, sto lavorando a un progetto che mi richiede di trovare, dato un lato e l'angolo a questo opposto, tutti i possibili triangoli.
Ovviamente questi sono infiniti, tra questi dovrei poi trovarne uno che abbia come distanza, tra il vertice il cui angolo è noto e uno degli estremi del lato, un valore definito. Non posso però usare direttamente questo valore come lato perchè è soggetto a un errore, l'idea era quindi di determinare questo fascio di triangoli nel quale sta per forza il valore ...
Spero che qualcuno possa aiutarmi con questo esercizio:
Data l'applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^3$ associata alla seguente matrice: $( ( 3 , 1 , 1 ),( 0 , 6 , 3 ),( 0 , -3 , 0 ) )$
a) Calcolare gli autovalori e almeno un autospazio
b) Si stabilisca se $f$ è diagonalizzabile
c) Si determini, se possibile, una matrice B con gli stessi autovalori di A tale che B non sia simile ad A
Ho calcolato gli autovalori: $lambda$ = 3 con molteplicità 3 (3 ...
ciao a tutti! devo determinare la dimensione del sottospazio Wa così definito:
$ {(x,y,z,w) in RR^4 $ t.c. $ ( ( a , 1 , a , 0 ),( 0 , a , 1 , a ),( a , 0 , a , 1 ) ) $ = $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ }
con $ a in RR $
quindi vado alla ricerca del rango al variare del parametro a poichè DimWa= n-rank con n=4. ora se opero considerando le sottomatrici 3x3, affinchè il rango sia 3 una delle sottomatrici dovrà avere determinante divero da zero.
siccome la soluzione di questo esercizio è: dimWa = 1 $ AA $ a significa che ...
Ciao a tutti,
avevo questo problema da porvi! Sia \( X_{1} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid < 1\} \quad \text{e sia} X_{2} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid \le 1\} \)
sia ora \( Y = \mathbb{R}^{2} \smallsetminus {(0,0)} \quad \text{e} \quad Z_{1} = X_{1} \cap Y \quad \text{e} \quad Z_{2} = X_{2} \cap Y \)
a) esiste un omeomorfismo fra \( Y \quad \text{e} \quad Z_{1} \) ?
b) esiste un omeomorfismo fra \( X_{1} \quad \text{e} ...
Esercizio: Siano $V,\,W$ spazi vettoriali sul campo $\mathbb{K}$; dimostrare che se $f \in Hom(V,W)$ e' biettiva, allora e' invertibile.
Puo' funzionare in questo modo?
Perche' l'implicazione sia verificata deve esistere una qualche
\begin{equation*}
G \in Hom(W,V) : G \circ f = Id_V,\, f \circ G = Id_W
\end{equation*}
per definizione di funzione inversa.
Presa \(\{f(\underline{v}_1), \ldots{}, f(\underline{v}_n\}\) -base di \(W\)- esiste l'applicazione lineare da ...
Ciao a tutti, quest'esercizio l'ho svolto con 2 metodi diversi, e mi vengono solo 2 risultati diversi. Aiutatemi a capire dove sbaglio nel primo metodo, siccome col secondo metodo il risultato del determinante mi viene giusto. Grazie in anticipo.
Calcolare il determinante della matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)
ho provato a svolgere così
METODO 1 (Metodo eliminazione di Gauss)
ho provato a rendere la matrice A, a scalini e calcolarne ...
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Salve a tutti,
mi ritrovo a dimostrare due proprietà che sembrano essere le stesse... :
"Proprietà 1":Siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \(K \) rispetto ad \( +_E\) ed \( \cdot_E \), \( n:=dim_K(E) \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), ove \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è base di \( E \), allora \( p=n\)
"Proprietà 2":Siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \(K \) rispetto ad \( +_E\) ed \( \cdot_E \), \( n:=dim_K(E) \), ed \( ...
Ciao, il problema è questo: date 4 rette sghembe "generali" a,b,c,d in $ \mathbb{P}^3 $, dimostrare che ci sono due rette che le intersecano tutte, e spiegare che significato si può dare a "generali".
Io ho pensato di identificare le rette con 4 punti della quadrica di Klein in $ \mathbb{P}^5 $, e utilizzando le condizioni di incidenza, cioè l'appartenenza ai piani tangenti nei punti, ho trovato un sistema 4x6, da cui ho dedotto che "generali" possa significare che il rango di questo SL sia ...
Premetto che è la prima volta che chiedo aiuto e non so se la sezione è quella giusta, perdonate eventuali errori.
Salve, ho un dubbio: dovrei trovare le equazioni di due rette che formano un angolo determinato.
So che \(\displaystyle tg(\alpha)= (m-m')/(1+m*m') \)
Dove le due rette sono \(\displaystyle y=mx \) e \(\displaystyle y'=m'x' \)
Il problema probabilmente è stupido, ma dato l'angolo, avrei bisogno di ottenere una formula del tipo \(\displaystyle m=[qualcosa] \) , per l'implementazione ...
Ciao a tutti, stavo svolgendo degli esercizi sulla diagonalizzazione di endomorfismi lineari, e non riesco a trovare una corrispondenza tra la mia soluzione e quella proposta dal testo. Vi scrivo la mia soluzione e dove mi blocco, non ho ben capito qual è l'ulteriore passaggio da fare:
Sia \(\displaystyle T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo lineare la cui matrice rispetto alla base standard è la seguente:
\(\displaystyle [T] = \begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\\
1 & -2 & ...
salve a tutti quest oggi vorrei chiedervi una cosa che mi è capitata in un esperimento settimana scorsa.
Il problema dava 2 sfere in forma implicita e un punto A
in sostanza si vuole sapere quale delle 2 sfere e' piu vicina ad A.
ora arriva la domanda:
io ho fatto un vettore dal centro di ogni sfera fino al Punto A e poi ho calcolato le 2 lunghezze dei 2 vettori.
il vettore con lunghezza piu corta e' quello che determina qual'e' la sfera piu vicina al punto.
ora pero mi sorge un dubbio:
il ...
Ciao a tutti, ho qualche dubbio che vorrei chiarire con voi riguardo alla diagonalizzazione di un'applicazione lineare. Ad esempio sto incontrando parecchie difficoltà con questo esercizio:
" Sia \(\displaystyle T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare definita da:
\(\displaystyle T(x,y,z) = (2x+y+z, y-z, 2y+4z) \) . Dire se è diagonalizzabile e, nel caso lo sia, definire una base di autovettori e la matrice associata a T rispetto a tale base. "
Dunque, trovo ...
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