Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,ahimè non riesco a risolvere il seguente problema di geometria analitica(diciamo anche che non sono molto ferrato)..Il testo Recita:
Nello Spazio Tri-Dimensionale,determinare Le rette passanti per il Punto A(0,0,1),incidenti la retta R:$\{(x =2z+3),(y=z+1):}$ ed equidistanti dagli assi X,Y .Fra quelle richieste individuare quella più lontana da tali assi.
Per la prima parte(incidenza e passaggio per A) avevo pensato di scrivermi la retta passante Per A ed un generico punto di R(ad ...
Salve a tutti Ho un dubbio su questo esercizio di geometria 1.
Studiare la caratteristica della matrice al variare del parametro reale h
$ ( ( h-1 , 0 , h , 4 ),( 1 , 0 , h , -1 ),( 2 , 3 , h-1 , 1 ) ) $
Ho considerato la sottomatrice formata da (1,0), (2,3) che ha det diverso da zero.
Quindi ho applicato il teorema di Kronecker. Ho orlato quel minore in questo modo
$ ( ( h-1 , 0 , h ),( 1 , 0 , h ),( 2 , 3 , h-1 ) ) $
calcolando il determinante ottengo -3h(h-2).
Quindi posso concludere che per h diverso da 0 e da 2 la caratteristica è 3.
Poi sono andata a studiare ...
Ciao ragazzi,
Avrei questo piccolo dubbio.
Negli esercizi nei quali mi chiedono di verificare se una data matrice è diagonalizzabile e poi di calcolare una diagonalizzante,
io ovviamente prima calcolo il polinomio caratteristico per verificare di avere solo radici reali;
successivamente calcolo gli autovettori relativi a ciascun autovalore.
A questo punto inserisco gli autovettori in colonna e , della matrice così ottenuta,calcolo il determinante.
Se questo è diverso da zero(indipendenza ...
Salve ragazzi,
com'è definito il nucleo di una forma bilineare?
Né Sernesi né gli appunti del corso ne parlano (o meglio, la Prof. l'ha sputato lì, apparentemente senza un perché e senza dare una definizione precisa...si è limitata a dire che coincide con lo spazio radicale di $V$ rispetto alla forma bilineare simmetrica $g$).
Googlando un po' ho trovato la definizione di nucleo di una forma bilineare simmetrica:
\[\ker g:=\{w\in V\,|\, \forall u\in V,\ ...
Come da titolo... una conica proiettiva è chiusa?
Sia nel caso reale che complesso (ovvero $P^2(CC)$ e $P^2(RR)$ ) usando la topologia indotta da quella euclidea??
L'idea era di vedere le coniche come la controimmagine di un chiuso, ma l'equazione della conica non passa a quoziente e non so se il polinomio omogeneo è una funzione continua, e non posso usare la proprietà universale del quoziente perchè non vi si può passare (il polinomio omogeneo non è compatibile con quello non ...
ragazzi, in base alla definizione ,se ho una curva in forma parametrica un punto è stazionario se la derivata prima della curva si annulla in tutte le componenti. non mi tirna dunque il caso della parabola. ..cioè la parabola dovrebbe avere equazione parametrica (x=t, y=t^2).la sua derivata prima è quindi (x=1, y=2t), che è diversa da 0 per ogni t.....cosa sbaglio?
Abbiamo definito il centro di una conica C, usando la riflessione centrale, ossia la trasformazione affine $\phi:E^3 to E^3$ definita da $\phi(P) = 2C-P$ , come:
$AAP inQ$ $F(P)=\lambdaF(2C-P) $con $\lambda inR$ e $\lambda!=0$
E' necessario dimostrare che questa definizione coincide con la definizione di centro data in questo modo:
considerata una quadrica $Q$ di equazione matriciale $P^TAP+2a^TP+a_(00)=0$
dove $P^T=(x,y,z)^T$ , $a^T=(a_(10),a_(20),a_(30))^T$, e ...
Buonasera a tutti, ho un dubbio su un esercizio di Topologia di "Introdution to Topology" di Adams-Franzosa:
Nell'insieme delle funzioni continue $C[a,b]$ considerare le metriche $rho_M$ e $rho$ definite da:
$rho_M(f,g)= max_(x in [a,b]){|f(x)-g(x)|}$
e
$rho(f,g)= int_a^b|f(x)-g(x)| dx$
Al punto b) mi chiede:
b) Mostra che per ogni $c_1,c_2>0$ esiste $f in C[a,b]$ tale che $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$ e $int_a^b|f(x)| dx=c_2$
Questo per me è assurdo infatti, posto $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$, al massimo la funzione ...
$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$
Determinare autovalori e autovettori.
Io procedo come segue calcolo gli autovalori:
λ1,2=0;λ3=6
Da cui successivamente mi calcolo gli autovettori:
Per λ3=6 ottengo n11=-0,408 ; n12=-0,816 ; n13=0,408
Per λ1=0
$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))*((n1),(n2),(n3))=0$
Ottengo:
$\{(n1 + 2n2 -n3 = 0),(2n1 + 4n2 -2n3= 0),(-n1 -2n2 + n3 = 0):}$
Risolvo il sistema e ottengo:
$\{(0 = 0),(0 = 0),(n1 = n3 - 2n2):}$
Quindi n3=k ; n2=T
$(K-2T)^2+K^2+T^2=1$
Ottengo:
$K1,2 = \frac{4T \pm \sqrt{-24T^2 + 8}}{4}$
Risolvo l'eq. Con l'incognita K e mi viene un valore complesso per T=1
In cosa sbaglio i risultati con il ...
Salve!! Ripetevo alcuni dei concetti di base sugli spazi vettoriali.... Mentre intersezioni arbitrarie di sottospazi vettoriali restituiscono sempre uno spazio vettoriale, in generale unioni arbitrarie di sottospazi vettoriali non restituisce uno spazio vettoriale.. Basta un controesempio per dimostrarlo.. Tuttavia mi piacerebbe sapere quali sono quei "casi speciali" in cui unioni di sottospazi restituiscono un sottospazio vettoriale.. Innanzitutto, diamo dei nomi! Consideriamo un generico ...
"Lang, Linear Algebra, EX.10, Cap.4":Sia \( F \) l'applicazione definita ponendo
\[ F(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y) \]
Descrivere l'immagine attraverso \( F \) di \( x = 1 \).
A parte che faccio una fatica assurda a visualizzare la cosa geometricamente --ma probabilmente sbaglio a voler visualizzare una mappa che piu' che trasformare cambia direttamente i punti-- per \( x \) fissato a \( 1 \) l'immagine di \( F \) e'
\[ (e \cos y, e \sin y) \]
cioe' la circonferenza ...
Buongiorno, avrei bisogno di un aiuto con un esercizio, più che altro vi chiederei di aiutarmi a capire cosa mi chiede!
E' data la matrice $ ( ((t-1)^2 , 1-t, 0) , (t^2 -6t +12, t, 3) , (1, 1, 1) )$.
Inizialmente mi chiede di trovare al variare di $t$ una base del nucleo dell'applicazione lineare $l_{A_t}\:\V\to\V$ associata alla matrice e di discutere la triangolarizzabilità, e fin qui nessun problema.
Il terzo punto recita:
Sia $W_t\:\=\ Imm(l_{A_t})$ lo spazio vettoriale immagine associato all'endomorfismo $l_{A_t}$. ...
[ot]E' la prima volta che mi capita di verificare l'indipendenza lineare di funzioni --e non di vettori. La cosa mi gasa, ma ...[/ot]
Devo verificare l'indipendenza di
\[ \sin t \, , \; \cos t \]
Un'idea poco formale ce l'avrei: le due funzioni chiaramente non differiscono per una semplice dilatazione.
Se per assurdo lo fossero allora, quando una si annulla, dovrebbe annullarsi anche l'altra. Il che chiaramente non succede.
Puo' funzionare, in questo modo*?
Piu' che altro vado un po' in ...
Stamattina mi sono ritrovato a dover dimostrare che
Siano \( P_1, \ldots, P_n \) punti di \( \mathbb{R}^m \). Ad ogni insieme convesso cui appartengono i punti \( P_1, \ldots, P_n \) appartengono anche tutte le combinazioni lineari
\[ x_1 P_1 + \ldots + x_n P_n \qquad \forall x_i \in [0, 1], \; \sum_{i = 1}^n x_i = 1 \qquad (\star) \]
Spinto da Lang --per gli interessati, mi riferisco all'Appendice 1 del testo Linear Algebra-- lo dimostro per induzione (la ...
Salve a tutti ragazzi
Come da titolo il mio problema è proprio la dimostrazione del Teorema Spettrale il quale mi è stato spiegato in modo diverso rispetto ai enunciati che ho trovato su questo forum e in internet in generale.
La dimostrazione è abbastanza lunga tuttavia non chiedo che mi vengano spiegati tutti i vari punti, perchè:
1)alcuni mi sono chiari
2)sinceramente mi sentirei in colpa
tuttavia per una completezza della spiegazione e per far si che anche altri possano beneficiare di ...
Ciao a tutti.
Ho un problema che credo sia geometrico, però coinvolge coordinate e informatica.
Sto lavorando con dei punti coordinate di GoogleMaps (latitudine, longitudine) e il problema di fondo è:
Dati N punti in una via, determinare quali sono gli estremi del segmento che li attraversa.
Però non mi interessa trovare l'interpolante precisa, ma io stavo più percorrendo questa strada:
-Dati i punti ne prendo due a caso A,B
-Per ogni altro punto C verifico se questo sta fuori al segmento A-B o ...
Devo mostrare che
\[ \langle A , B \rangle \equiv A^\tau M B \qquad A, B \in \mathbb{R}^m, M^\tau = M \in \mathscr{M}_{m \times m} \]
e' un prodotto scalare non degenere. Che valgano le proprieta di linearita' rispetto al secondo termine e di simmetria e' piuttosto evidente; il fatto che non sia degenere non riesco a mostrarlo con decisione.
Dire che \( \langle \; , \rangle \) e' non degenere equivale a dire che
\[ \langle A , \mathbf{x} \rangle , \; \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m ...
Salve a tutti ragazzi, è da un bel pò di ore che non riesco a capire come risolvere un'equazione matriciale AX + B = C
dove :
\(\displaystyle A=((2,3,0),(3,5,-0),(0,0,1)) B=((1,0,1),(2,1,0),(0,1,1)) C=((0,0,1),(1,0,1),(1,0,1)) \)
ed vi prego di aiutarmi a risolvere anche questo mini esercizietto ovvero : Trovare i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e quelli di ordine \(\displaystyle 5 \) nel gruppo S4.
Vi ringrazio in anticipo a tutti.
Buonasera a chiunque mi legga,
scrivo per chiedere chiarimenti riguardo un teorema che ho trovato sul mio libro "Un'introduzione all'algebra lineare - Lomonaco".
Il teorema è il seguente:
Mi scuso moltissimo per la qualità delle immagini, ma non posseggo uno scanner.
Venendo al dunque:
Il teorema vuole dimostrare che, dato un endomorfismo qualunque, la molteplicità algebrica dei suoi autovalori Lambda sarà sempre minore o uguale di quella geometrica.
Quello che non mi è ...
Salve a tutti,
vi posto il quesito di un compito d'esame che mi ha messo in difficoltà..
Siano assegnati i vettori:
$w_1$ = (2,1,0,0), $w_2$ = (-1,0,1,0), $w_3$ = (0,0,0,1) $in$ $RR^4$
e il sottospazio V = L($w_1,w_2,w_3$) e l'applicazione lineare f : V $rarr$ $RR^4$ definita mediante le seguenti relazioni:
f (2,1,0,0) = (h,1,0,5);
f (-1,0,1,0) = (-h,0,h,0);
f (0,0,0,1) = (4,h,0,h-1).
Determinare se ...
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