Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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E' un quesito a risposta multipla, ma più che al mero risultato, sarei interessata a capire i diversi passaggi.
Ecco il quesito:
Tre versori, $\bar a$, $\bar b$, $\bar c$, sono tali che $bar(a)+bar(b)+bar(c)=0$
Detti $x=bar(b)*bar(c)$ e $y=bar(a)*bar(b)+bar(b)*bar(c)+bar(c)*bar(a)$ , quali delle seguenti uguaglianze sono soddisfatte?
R.1) $x=1/2$ e $3x+2y=0$
R.2) $x=-1/2$ e $2y+3=0$
R.3) $x=-1/2$ e $y=0$
R.4) $x=-1$ e ...
Buongiorno a tutti!
La questione è forse banale, e sto cercando di indirizzarla solo a grandi linee.
Posto che la struttura simplettica non contempla invarianti locali quali la curvatura, ma che tuttavia vi può essere una varietà che dispone sia di una struttura simplettica che di una struttura riemanniana, mi chiedevo: esistono spazi delle fasi (quelli ordinari della meccanica hamiltoniana) curvi?
In alcuni testi si dice che uno spazio delle fasi è flat per definizione. Però esistono anche ...
Salve a tutti,
ho un problema enorme. Sul mio carissimo libro di g&a non ci sono più della metà delle dimostrazioni che devo portare all'esame. Dal momento che nessuno di quegli infami dei miei compagni di corso vuole prestarmi il quaderno con gli appunti (io ho avuto difficoltà a seguire) sono costretto a rivolgermi altrove. Qualcuno sa dove posso trovare le seguenti dimostrazioni please?
• La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea associata ...
Il teorema che asserisce che due matrici aventi medesimo polinomio caratteristico e essenti entrambi diagonalizzabili, allora sono simili, dice anche che qualora nessuna delle due matrici sia diagonalizzabile, se il termine di molteplicità plurima della matrice A coincide con il termine di molteplicità plurima della matrice B e se i ranghi dei polinomi caratteristici delle corrispondenti matrici con autovalore suddetto coincidente risulta uguale, allora le due matrici risultano simili, tuttavia ...
Salve a tutti,
Questo è il problema:
Sia $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ applicazione lineare iniettiva e sia $g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ applicazione lineare suriettiva.
Si verifichi che:
$E:={h\inEnd(\mathbb{R}^m) |$ $ g\circ h\circ f=0}$
è un sottospazio vettoriale di $End(mathbb{R}^m)$ e se ne calcoli la dimensione.
Soluzione: (verifica che è un sottospazio è semplice);
Rimane da trovare la dimensione:
Considero $\phi:End(\mathbb{R}^m) \rightarrow End(\mathbb{R}^m)$ che associa $ h\mapsto g\circ h\circ f$
A questo punto osservo che ...
Come mai "la matrice di cambiamento di base da B a B' " è quella a cui moltiplicando i vettori in base B' ottengo quelli in base B? Non è un po' controintuitivo? C'è un senso profondo nella scelta di questa terminologia?
Ieri studiando il cambiamento di base ho perso quasi due ore invano per cercare di capire il motivo xD
Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questo esercizio.
Data la matrice Hermitiana
\( \begin{pmatrix} 1 & j^2 & j \\ j & 1 & j^2 \\ j^2 & j & 1 \end{pmatrix} \)
con \( j = (-1/2) + i(\sqrt3/2) \)
1)Dire se la forma quadratica hermitiana \( \phi \) associata a A può definire la struttura di spazio unitario su C.
2) Dimostrare che il vettore \( ( \lambda, \lambda, \lambda) \) \( \forall \lambda \in C \) è isotropo.
Per il punto 1 ho detto che siccome il determinante di A è ...
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi sull'impostazione di questo esercizio d'esame di geometria 2
Verificare che lo spazio vettoriale \( V^3 \) rispetto alla forma quadratica
\( Q(x,y,z)=3(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz) \)
è uno spazio vettoriale euclideo (x è un vettore di \( V^3 \), (x,y,z) sono le componenti di x rispetto alla base
B= (v1,v2,v3)). Determinare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare così introdotto.
Per verificare che è uno spazio euclideo basta provare che Q è definita ...
salve,
volevo chiederevi se una matrice semidefinita semidefinita non è mai a rango pieno ,perde sempre rango?
Se vado a vedere gli autovalori della matrice semidefinita positiva pari a zero mi indicano quanto perdono?
Grazie mille
ciao
allora abbiamo uno spazio vettoriale S € R^3 così definito:
{ x + 2y - 3kz = k^2 - k
{ x -2y + z = 0
{ x +2ky - 3z = 0
tramite un parametro k € R.
trovare k in modo che risulti uno spazio vettoriale
e se questo è diverso dal vettore nullo trovarne una base.....
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Ora: non saprei da dove iniziare, ho risolto il sistema in k ma mi vengono cose complicate con anche k^2
e sinceramente per tirarci fuori qualcosa [guardando se è chiuso ...
Scusate il disturbo ma avrei un dubbio circa una dimostrazione che fa il sernesi sulle partizioni dell'unità.
In particolare, alla fine del teorema in cui dimostra l'esistenza di una partizione dell'unità numerabile subordinata ad un ricoprimento aperto di una varietà differenziabile, afferma che l'unione dei supporti e uguale alla chiusura della stessa (in altre parole l'unione di una famiglia di chiusi localmente finita è chiusa).
Non avendo trattato questi argomenti a lezione (mi servono per ...
determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare il determinante
$\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$
matrice dei coefficienti A= $((2,-3,1),(a,-6,2))$
matrice completa C=$((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$ ho calcolato il determinante di A e quello di C, che vengono zero per a=4, e diverso da zero per a diverso da 4. nel secondo caso(per a diverso da quattro) vengono infinite soluzioni. applico cramer. Ma nel primo caso ho infinito alla seconda soluzioni, e se ...
Parto dalla definizione generale di prodotto tensoriale:
Dati $V_1,...,V_n $ spazi vettoriali, si definisce prodotto tensoriale la coppia $(W,f)$ dove $W$ è uno spazio vettoriale e $f$ è un'applicazione multilineare da $V_1,...,V_n $in $W$ tale che valga la seguente proprietà:
per ogni spazio vettoriale $T$ e applicazione multilineare $g$ da $V_1,...,V_n $ in $T$ esiste un'unica applicazione ...
Io ho due sottospazi di $ R^n $ ad esempio U e W. Se ho U espresso in forma cartesiana e W espresso attraverso un insieme di generatori come posso trovare una base della loro intersezione? Io ho pensato di estrarre le equazioni cartesiane da W, di conseguenza $ Unn W $ deve risovere le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi. Ora studio l'indipendenza lineare di queste equazioni e facciamo caso che quelle indipendenti siano m
Ciao ragazzi!
Non riesco a risolvere questo esercizio:
trovare un iperpiano di $RR^2$ che separi strettamente i due insiemi seguenti:
$A = {(x, y) : (x + 1)^2 + y^2 \le 4},<br />
B = {(x, y) : (x - 4)^2 + (y - 5) ^2 \le 9}$
Negli esercizi fatti finora, cercavo un iperpiano che separasse un punto da un insieme. Avendo a che fare con due insiemi, quello che mi verrebbe da fare, sarebbe cercare i due punti di minima distanza tra $A$ e $B$ e definire l'iperpiano perpendicolare al vettore che unisce i due punti trovati sopra.
Vi ...
Ciao ragazzi!
Ho bisogno del vostro aiuto per comprendere una dimostrazione fatta dal mio professore durante una lezione alla quale non ho potuto partecipare.
Voglio dimostrare l'esistenza del minimo assoluto di $g(x) = <Ax, x> + <u, x> + c$, quando:
- $X$ spazio euclideo;
- $A \in L(X)$ operatore simmetrico definito positivo;
- $u \in X$ qualunque;
- $c \in \RR$ qualunque.
Prendendo $a = min \sigma(A)$, so che $<Ax, x> \ge a ||x||^2$. Per la disuguaglianza di Schwartz posso dire ...
Salve mi chiedevo se si può verificare velocemente la linearità di un'applicazione lineare data.
Dico questo perchè se si ha un'app lineare isomorfa ad una matrice 4x4 è un po lungo fare:
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)
per non parlare di una 5x5...
sui libri e a lezione l'unico modo che ho visto è questo, ma forse me ne sono persi altri,
ce ne sono altri?
Grazie mille
Buongiorno a tutti, stamane nel tentativo di risolvere un esercizio di Geometria e algebra mi sono imbattuto in un ostacolo che non so aggirare.
Mi viene data la seguente applicazione lineare:
$ L( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2x-y+z ),( y+z ),( x+z ) ) $
Nei primi punti mi viene chiesto di determinare la matrice associata, le dimensioni di $ ker(L) $ e di $ Im(L) $, ma fin qui nessun problema. Il problema viene al punto successivo: "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $" e poi anche ...
Buon pomeriggio a tutti.
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio.
Siano $U$ e $V$ i sottospazi di $V = C^4$ generati rispettivamente dai seguenti insiemi, ${\sqrt{2}e_1 + e_2, e_2 + \sqrt{-5}e_3}$ e ${e_1 - ie_4,e_2 + e_4}$, ove $e_j$ denota il $j$-esimo vettore della base standard. Calcolare $dimL$, ove $L \in {U,W,V,U + W, U \cap W}$.
Io ho svolto l'esercizio come segue.
$V$ ha dimensione 4, in quanto coincide con $C^4$ che ...
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