[RISOLTO] Esistenza del minimo assoluto nello sviluppo di Taylor di secondo grado

[delca85]

Ciao ragazzi!
Ho bisogno del vostro aiuto per comprendere una dimostrazione fatta dal mio professore durante una lezione alla quale non ho potuto partecipare.
Voglio dimostrare l'esistenza del minimo assoluto di $g(x) = + + c$, quando:
- $X$ spazio euclideo;
- $A \in L(X)$ operatore simmetrico definito positivo;
- $u \in X$ qualunque;
- $c \in \RR$ qualunque.
Prendendo $a = min \sigma(A)$, so che $ \ge a ||x||^2$. Per la disuguaglianza di Schwartz posso dire che $ \ge - ||u|| * ||x||$. Di conseguenza posso dedurre $g(x) \rarr infty$ quando $x \rarr \infty$ perché è maggiore di una quantità che va a $\infty$.
A questo punto scelgo un numero reale $M > g(0)$ e considero $K = g^{-1}((-\infty, M])$, osservo che:
- $K$ è chiuso perché controimmagine di un insieme chiuso;
- $K$ è limitato a causa del fatto che $g(x) \rarr \infty$ per $ x \rarr \infty$.
Fin qua mi torna tutto, il problema è quando si conclude dicendo che minimizzare su $X$ equivale a farlo su $K$.
Mi chiedo, perché non può esistere un $x \notin K$ tale che $g(x) \le g(x') \forall x' \in X$?

Sicuramente sono io a perdermi qualche pezzo, ma vorrei capire!

[delca85]

Soluzione: $K$ è la controimmagine dell'intervallo che va da meno infinito a $M$, non è detto che sia un unico intervallo, può essere un unione di più intervalli. Qualsiasi valore che ha quota $> M$ non appartiene a K, tutti gli altri sì. Per questa ragione, se esiste un minimo, quello appartiene a $K$.