Aiuto con sistema lineare!
determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare il determinante
$\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$
matrice dei coefficienti A= $((2,-3,1),(a,-6,2))$
matrice completa C=$((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$ ho calcolato il determinante di A e quello di C, che vengono zero per a=4, e diverso da zero per a diverso da 4. nel secondo caso(per a diverso da quattro) vengono infinite soluzioni. applico cramer. Ma nel primo caso ho infinito alla seconda soluzioni, e se applico cramer essendo il determinante di A zero ottengo la forma indeterminata zero su zero. come posso fare? grazie!!
$\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$
matrice dei coefficienti A= $((2,-3,1),(a,-6,2))$
matrice completa C=$((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$ ho calcolato il determinante di A e quello di C, che vengono zero per a=4, e diverso da zero per a diverso da 4. nel secondo caso(per a diverso da quattro) vengono infinite soluzioni. applico cramer. Ma nel primo caso ho infinito alla seconda soluzioni, e se applico cramer essendo il determinante di A zero ottengo la forma indeterminata zero su zero. come posso fare? grazie!!
Risposte
@viovio,
hai calcolato il determinante di \( A \) e di \( C \)?
Il determinante è solo di matrici quadrate e non rettangolari come in questo caso, quindi cosa hai calcolato veramente? 
Inoltre sai quando un sistema è compatibile? La consegna è scritta correttamente?
Saluti
"viovio":
determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare il determinante
$\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$
matrice dei coefficienti A= $((2,-3,1),(a,-6,2))$
matrice completa C=$((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$ ho calcolato il determinante di A e quello di C, che vengono zero per a=4, e diverso da zero per a diverso da 4. nel secondo caso(per a diverso da quattro) vengono infinite soluzioni. applico cramer. Ma nel primo caso ho infinito alla seconda soluzioni, e se applico cramer essendo il determinante di A zero ottengo la forma indeterminata zero su zero. come posso fare? grazie!!
hai calcolato il determinante di \( A \) e di \( C \)?
Il determinante è solo di matrici quadrate e non rettangolari come in questo caso, quindi cosa hai calcolato veramente? Inoltre sai quando un sistema è compatibile? La consegna è scritta correttamente?Saluti
@viovio,
ho capito cosa hai fatto, in sostanza di sei calcolato il determinante di una sottomatrice, non è sbagliato quanto hai fatto ma quanto hai detto... cmq sia veniamo al dunque, dato il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$, la matrice (incompleta) di \( \Sigma \) è $A:=((2,-3,1),(a,-6,2))$ mentre la matrice completa è $C:=((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$, il sistema \( \Sigma \) è compatibile se ammette almeno una soluzione ma per Rouchè-Capelli basta che \( rnk(A)=rnk(C) \), guardando bene notiamo che il rango di ambedue sarà lo stesso e può essere alpiù \( 2 \), per dire che è \( 2 \) dobbiamo trovare almeno una sottomatrice quadrata di determinante non nullo e tra i casi possibili l'unica che potrebbe non avere determinante nullo è $A:=((2,-3),(a,-6))$, ed in particolare è non nullo se \( a \neq 4 \). Se \( a \neq 4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=2\) ma esso è minore del numero \( n \) delle incognite, quindi il sistema avrà, si dice/scrive, \( \infty^{3-2}=\infty^1 \) soluzioni e quindi anche \( 1\) variabile libera, se \( a =4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=1\) e vi saranno \( \infty^2 \) soluzioni e quindi \(2\) variabili libere... fin qui ci siamo, leggo che hai usato Cramer per avere le soluzioni
, prima di continuare a rispondere vorrei almeno vedere i passaggi che hai fatto nel trovare \( Sol(\Sigma)\) nei casi di \( a \neq 4 \) e \( a=4\).. Scrivili per favore..!
Saluti
P.S.=Mi correggo, altro caso per non avere un minore non nullo è $A:=((2,1),(a,2))$
... ma ne basta uno solo per avere rango \( 2 \), anche perchè in questo caso le condizioni su \( a \) sono le stesse qualsiasi minore (non nullo) avessi scelto 
!!
ho capito cosa hai fatto, in sostanza di sei calcolato il determinante di una sottomatrice, non è sbagliato quanto hai fatto ma quanto hai detto... cmq sia veniamo al dunque, dato il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$, la matrice (incompleta) di \( \Sigma \) è $A:=((2,-3,1),(a,-6,2))$ mentre la matrice completa è $C:=((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$, il sistema \( \Sigma \) è compatibile se ammette almeno una soluzione ma per Rouchè-Capelli basta che \( rnk(A)=rnk(C) \), guardando bene notiamo che il rango di ambedue sarà lo stesso e può essere alpiù \( 2 \), per dire che è \( 2 \) dobbiamo trovare almeno una sottomatrice quadrata di determinante non nullo e tra i casi possibili l'unica che potrebbe non avere determinante nullo è $A:=((2,-3),(a,-6))$, ed in particolare è non nullo se \( a \neq 4 \). Se \( a \neq 4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=2\) ma esso è minore del numero \( n \) delle incognite, quindi il sistema avrà, si dice/scrive, \( \infty^{3-2}=\infty^1 \) soluzioni e quindi anche \( 1\) variabile libera, se \( a =4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=1\) e vi saranno \( \infty^2 \) soluzioni e quindi \(2\) variabili libere... fin qui ci siamo, leggo che hai usato Cramer per avere le soluzioni
, prima di continuare a rispondere vorrei almeno vedere i passaggi che hai fatto nel trovare \( Sol(\Sigma)\) nei casi di \( a \neq 4 \) e \( a=4\).. Scrivili per favore..! Saluti
P.S.=Mi correggo, altro caso per non avere un minore non nullo è $A:=((2,1),(a,2))$
... ma ne basta uno solo per avere rango \( 2 \), anche perchè in questo caso le condizioni su \( a \) sono le stesse qualsiasi minore (non nullo) avessi scelto !!
"garnak.olegovitc":
@viovio,
ho capito cosa hai fatto, in sostanza di sei calcolato il determinante di una sottomatrice, non è sbagliato quanto hai fatto ma quanto hai detto... cmq sia veniamo al dunque, dato il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$, la matrice (incompleta) di \( \Sigma \) è $A:=((2,-3,1),(a,-6,2))$ mentre la matrice completa è $C:=((2,-3,1,1),(a,-6,2,2))$, il sistema \( \Sigma \) è compatibile se ammette almeno una soluzione ma per Rouchè-Capelli basta che \( rnk(A)=rnk(C) \), guardando bene notiamo che il rango di ambedue sarà lo stesso e può essere alpiù \( 2 \), per dire che è \( 2 \) dobbiamo trovare almeno una sottomatrice quadrata di determinante non nullo e tra i casi possibili l'unica che potrebbe non avere determinante nullo è $A:=((2,-3),(a,-6))$, ed in particolare è non nullo se \( a \neq 4 \). Se \( a \neq 4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=2\) ma esso è minore del numero \( n \) delle incognite, quindi il sistema avrà, si dice/scrive, \( \infty^{3-2}=\infty^1 \) soluzioni e quindi anche \( 1\) variabile libera, se \( a =4 \) allora il \( rnk(A)=rnk(C)=1\) e vi saranno \( \infty^2 \) soluzioni e quindi \(2\) variabili libere... fin qui ci siamo, leggo che hai usato Cramer per avere le soluzioni
Saluti
P.S.=Mi correggo, altro caso per non avere un minore non nullo è $A:=((2,1),(a,2))$
ciao grzie della risposta. Sono stata fuori e posso risponderti solo oggi.
Allora il problema sta proprio nel fatto che per calcolare le soluzioni con Cramer devo (o dovrei, non so a questo punto se è giusto) applicare la formula:
x=(det(minore di A non nullo con la colonna dei termini noti sostituita a quella delle incognite x)/(det(minore non nullo della matrice A)) -[scusa la scrittura scorrretta ma penso hai capito]
quindi però adesso al denomitore ho zero! è qui che non so come fare
@viovio,
sisi ho capito...prova a vedere qui e riscrivere con le apposite formule così almeno prendi confidenza... cmq, avevamo il seguente sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$, che ammetteva per \( a =4 \) \( \infty^2 \) soluzioni, con \( 2 \) variabili libere, mentre per \( a \neq 4 \) ammetteva \( \infty^1 \) soluzioni, con \( 1 \) variabile libera.. anzitutto scegliamo per i vari casi di \( a \) le nostre incognite libere e per \( a \neq 4 \) io scelgo \( z \) mentre per \( a = 4 \) scelgo \( y \) e \( z \), quindi per \( a \neq 4 \) il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$ è equivalente al sistema $\Sigma_1:=\{(2x-3y=1-z),(ax-6y=2-2z):}$ mentre per \( a = 4 \) il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$ (o anche $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(4x-6y+2z=2):}$) è equivalente al sistema $\Sigma_2:=\{2x=1+3y-z$ (o anche ad $\Sigma_3:=\{4x=2+6y-2z$).. ora se la memoria non mi inganna, Cramer nei sistemi indeterminati va applicato a questi ultimi sistemi equivalenti
Saluti
P.S.=Per \( a =4 \) puoi facilmente determinare il valore della \( x \) in funzione delle due incognite libere scelte..
.. per \( a \neq 4 \) prova a fare i calcoli e dimmi quanto viene!
"viovio":
ciao grzie della risposta. Sono stata fuori e posso risponderti solo oggi.
Allora il problema sta proprio nel fatto che per calcolare le soluzioni con Cramer devo (o dovrei, non so a questo punto se è giusto) applicare la formula:
x=(det(minore di A non nullo con la colonna dei termini noti sostituita a quella delle incognite x)/(det(minore non nullo della matrice A)) -[scusa la scrittura scorrretta ma penso hai capito]
quindi però adesso al denomitore ho zero! è qui che non so come fare
sisi ho capito...prova a vedere qui e riscrivere con le apposite formule così almeno prendi confidenza... cmq, avevamo il seguente sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$, che ammetteva per \( a =4 \) \( \infty^2 \) soluzioni, con \( 2 \) variabili libere, mentre per \( a \neq 4 \) ammetteva \( \infty^1 \) soluzioni, con \( 1 \) variabile libera.. anzitutto scegliamo per i vari casi di \( a \) le nostre incognite libere e per \( a \neq 4 \) io scelgo \( z \) mentre per \( a = 4 \) scelgo \( y \) e \( z \), quindi per \( a \neq 4 \) il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$ è equivalente al sistema $\Sigma_1:=\{(2x-3y=1-z),(ax-6y=2-2z):}$ mentre per \( a = 4 \) il sistema $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(ax-6y+2z=2):}$ (o anche $\Sigma:=\{(2x-3y+z=1),(4x-6y+2z=2):}$) è equivalente al sistema $\Sigma_2:=\{2x=1+3y-z$ (o anche ad $\Sigma_3:=\{4x=2+6y-2z$).. ora se la memoria non mi inganna, Cramer nei sistemi indeterminati va applicato a questi ultimi sistemi equivalenti
Saluti
P.S.=Per \( a =4 \) puoi facilmente determinare il valore della \( x \) in funzione delle due incognite libere scelte..
.. per \( a \neq 4 \) prova a fare i calcoli e dimmi quanto viene!
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