Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, avrei un dubbio sullo svolgimento di un esercizio riguardante le basi di uno spazio vettoriale. Inoltre avrei una domanda: per sapere se dei vettori ${v_1, ... ,v_n}$ sono linearmente indipendenti, io in genere imposto il sistema associato all'equazione
$a_1v_1 + ... + a_nv_n = 0_v $
e vedo se l'unica soluzione è $a_1 = a_2 = ... = a_n$, ma a volte è un procedimento piuttosto lungo. Esistono modi più veloci di verificare la lineare indipendenza?
Per quanto riguarda l'esercizio mi viene chiesto ...
Ciao ragazzi, ho davanti la traccia di questo esercizio, ma non ho ben capito cosa richiede esattamente..
Scrivere l'applicazione lineare $ f:R^2->R^3 $ tale che $ f(1,1)=(1,2,1) $ e $ f(3,2)=(-1,2,-5) $
Vuole che rappresenti questa applicazione con delle variabili al posto che dei numeri?
Grazie a tutti.
Dati:
$ f_a(1,3,4) = (1,2,0)$; $ f_a(2,2,1) = (0,1,1)$; $ f_a(-2,1,4) = (1,1,a)$; $ f_a(1,6,9) = (2,4,a^2+a)$
Dire per quali valori di $ a in R$ esiste un'applicazione lineare $ f_a: R^3 -> R^3$ che soddisfa le condizioni date? L'applicazione e' unica?
Esiste una applicazione unica solo se i vettori $(1,3,4),(2,2,1),(-2,1,4),(1,6,9)$ formano una base tuttavia
osservo che $dimR^3 = 3$ quindi uno di loro e' combinazione lineare degli altri, ne tolgo uno ad esempio $(1,6,9)$.
Vorrei sapere se fino a qui e' corretto, ora ...
Salve a tutti! Sto cercando di risolvere un problema di topologia generale, ve lo propongo sperando che mi possiate essere d'aiuto:
Sia X uno spazio topologico e sia Y un suo sottoinsieme, supponiamo che la topologia di sottospazio su Y coincida con la topologia discreta. Dimostrare o dare un controesempio che:
1) la topologia di sottospazio sulla CHIUSURA di Y è la topologia discreta
2) se X è metrizzabile allora Y è un chiuso di X
io ho ragionato così: riguardo alla domanda 2 mi pare che ...
Salve a tutti, dovrei trovare il volume di un parallelepipedo conoscendo 4 vertici:
A=(1; 0; 0),B=(0; 2; 1),C=(-1; 1; 1),D=(3; 1;-1)
Avevo pensato di trovare i 3 vettori a=B-A; b=C-A; c=D-A e farne il prodotto misto. Il valore assoluto del determinante del prodotto misto corrisponderà al volume del parallelepipedo ma così facendo purtroppo sbaglio qualcosa in quanto non corrisponde al risultato che ci ha dato il nostro prof.
Spero che mi aiutiate, grazie mille
Ciao ragazzi; dato un sottospazio, dovrei scriverne una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana di esso. Sul mio libro ho trovato solo argomenti che riguardano le applicazioni in merito, ma non semplici vettori o equazioni.
Mi spiego meglio, prendo due esercizi:
$ U_1 = { (x,y,z) € R^3 | x+y=z-x=0} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo parametricamente come dovrei procedere?
$ U_1 = Span {(1,2,1),(1,-1,1),(3,0,3)} in R^3 $
Se volessi rappresentarlo tramite equazioni (metodo cartesiano), come dovrei procedere?
Se per darmi ...
Buonasera a tutti, mentre mi esercitavo per il corso di analisi 2 (anche se la domanda è più inerente ad Algebra lineare), mi è sorto il seguente dubbio (semplifico un minimo il problema dal quale sono partito):
Io ho un'applicazione lineare L: $R^3$ → $R^2$ rappresentata dalla seguente matrice:
A = $[[1,2],[2,4],[3,-4]]$
dovrei determinare L^(-1)$([[1],[2],[1]])$= $( 3/5$, $1/5)$
come faccio ad avere la funzione inversa dato che non posso fare ...
Salve. questo è il mio primo post (se così si può definire ) e spero di riuscirvi a spiegare chiaramente il mio problema.
Ho un esercizio di geometria 2 (algebra lineare) su cui mi sono soffermata per un bel po di tempo.
Scriverò la traccia per poi concludere con alcune mie considerazioni.
In uno spazio euclideo tridimensionale E, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P:(1,0,1) e le rette r e r':
r:$\{(x=1+t),(y=-2t),(z=-2-t):}$
r':$\{(x=2-s),(y=1+s),(z=-s):}$
Si determini la ...
Ciao, amici! Definendo un piano come da assiomi di Hilbert, senz'altro esso contiene un punto (I 4). Non mi è affatto chiaro se però un piano contenga sempre almeno tre punti oppure no.
Un altra questione che mi assilla è se sia o no sempre possibile trovare una perpendicolare ad un piano passante per un punto dato, secondo tali assiomi, analogamente a come è possibile nel piano trovare una retta perpendicolare ad un'altra e passante per un punto dato, esterno a tale retta od ...
Ciao a tutti, ho questo sistema di vettori:
$ S_2 = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)} $
Ho verificato che il seguente sistema di vettori è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori. Se però volessi completarlo ad una base di $ R^3 $ , è corretto aggiungere , ad esempio, il vettore $ (0, 0, 1) $ ? Riuscirebbe a diventare una base di $ R^3 $ ?
Grazie a tutti!
Devo scrivere l'equazione della sfera tangente al piano $\Pi: x+y+z-1=0$ nel punto $P_0(2,1,-2)$ avente raggio uguale a $r=3$.
Io ho pensato di fare così:
Detto $C(x_c,y_c,z_c)$ il centro della sfera l'equazione della sfera passante per $P_0$ e di raggio $r$ è:
$(x_0-x_c)^2+(y_0-y_c)^2+(z_0-z_c)^2=r^2=>(2-x_c)^2+(1-y_c)^2+(-2-z_c)^2=9$.
Poi devo imporre che la distanza $d(\Pi,C)=3$, ovvero $|x_c+y_c+z_c-1|/sqrt(3)=3$
E metto a sistema le due equazioni: ${ ( (2-x_c)^2+(1-x_c)^2+(-2-z_c)^2=9 ),( |x_c+y_c+z_c-1|/sqrt(3)=3 ):}$.
Così mi trovo, ad esempio, ...
Ciao a tutti.
Non ho capito come si trovano gli autovettori di una matrice. Ad esempio ho la seguente matrice
[size=150]( 1 0 0 )
( -1 3 0 )
( 3 2 -2 ) [/size]
So che gli autovalori sono [size=150]1[/size], [size=150]3[/size] e [size=150]-2[/size]
Vorrei sapere come si trovano gli autovettori della matrice. Grazie
Ciao a tutti, devo risolvere uno strano problema, se non capite cercherò di essere più chiaro possibile.
Dato tre punti a, b e c.
Le coordinate di c inizialmente sono uguali alle coordinate di a dovrei arrivare alle coordinate di b, ad ogni cosi dire istante c dovrebbe cambiare coordinate, pur sempre trovandosi sulla retta tra a e b.
Conosco però la distanza tra c e b.
Come posso trovare le coordinate x e y di c?
Ringrazio anticipatamente
Mi viene dato in un esercizio, tre vettori $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(-1,2,-3,)$, $v_3=(1,1,1)$ e mi si chiede se:
$v_3\inspan(v_1,v_2)$ in cui ho risposto no perchè $v_3$ è linearmente indipendente sugli altri due
e di trovare una base ortonormale ${w_1,w_2}$ di $span(v_1,v_2)$
posso applicare il teorema di gramm-schmidt per trovarla, vero? Giusto per conferma...
Ovvero: $w_1=v_1$
$w_2=v_2-(<v_2,v_1>)/(<v_1,v_1)v_1$
Dunque io devo scrivere l'equazione di cambiamento di base da quella canonica alla base B definita dai vettori $v_1=(1,0,1), v_2=(1,-1,1),v_3=(0,1,1)$
Quindi verifico che siano LI guardando se il determinante della matrice che formano non è nullo.
$|A|=|(1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1)|=-1!=0$ ok quindi la base $B\inRR^3$
La base canonica è $B_c={e_1,e_2,e_3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
quindi scrivo un generico vettore $v=(x,y,z) \inRR^3$ quindi $[v]_(B_c)=(x,y,z)$ mentre $[v]_B=(x',y',z')$
faccio i vari passaggi per arrivare a dire che $(x,y,z)=A(x',y',z')$
A questo ...
Salve è la prima volta che scrivo su questo sito quindi non sono molto pratico.
Comunque se è possibile vorrei avere dei chiarimenti per quanto riguarda esercizi riguardanti i spazi vettoriali.
Per esempio determinare la base e la dimensione dell'unione di due sottospazi vettoriali.
Per esempio:
Non si legge ma c'è scritto di U(intersecato) W
Comunque leggendo un po su questo sito ho notato che bisognava calcolare il rango e quindi ho provato a costruirmi la matrice del primo ...
Ciao a tutti. Non ho capito una cosa nel mio libro , ora spiego cosa.
(notazione: $<,>$ indica il prodotto scalare)
Sia $P_0 in \varepsilon^3$ ,$r$ una retta,$P$ un punto generico di tale retta e $v$ il vettore direzionale della retta $r$:
la distanza $d(P_0,r)=d(P_0,Q)=|\vec{P_0Q}|$ con $Q$ l'unico punto tale che $\vec{P_0Q}$ sia ortogonale alla retta $r$. Sia $b$ un versore appartenente alla ...
Buonasera a tutti,
ho il seguente quesito.
Se ho due vettori $v_1=(1,2,3) e v_2=(-1,0,1)$, lo spazio $L(v_1,v_2)$ è la retta passante per $v_1,v_2$ ? Lo spazio $L(v_1,v_2)$ contiene la retta che passa per $v_1,v_2$ ?
NB: Con $L(v_1,v_2)$ intendo l'insieme delle combinazioni lineari dei due vettori.
Grazie per gli eventuali indizi.
Salve a tutti,
Questo è il mio primo post e spero che questa sia la sezione adatta.
Ho un dubbio con un esercizio di esempio negli appunti universitari, di cui non capisco bene la risoluzione; riporto il testo dell' esercizio:
Sia \(\displaystyle f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) definita come:
\(\displaystyle f (x, y, z, t) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t) \)
Calcolare la anti immagine del vettore \(\displaystyle (3,2,5,4) \) in \(\displaystyle f \).
Nell' esercizio si calcola ...
Ciao a tutti,
sono bloccato con una dimostrazione riguardante la relazione tra norma e prodotto interno, in particolare:
"La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz permette di dimostrare che la funzione $ ||x|| = sqrt(langlex,xrangle) $ definisce, in uno spazio con prodotto interno, una norma."
Ho provato a considerare il vettore $(x+tx)$, procedendo inserendolo in un prodotto scalare con se stesso,
($langlex+tx,x+txrangle$), ma credo di aver agito male in quanto alla fine trovo $||x|| (t+1)^2 ge 0$ e non mi ...
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