Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Determinare i piani passanti per il punto P(1,0,0), perpendicolari al piano alfa: x+2z=0 ed aventi distanza 1 dalla retta di equazioni r:{y=1
{z=2x-1
i risultati sono il piano y=0 e il piano 2x-2y-z-2=0.
Ragazzi sto avendo delle difficoltà a risolvere questo problema...io ho pensato di mettere a sistema 3 condizioni..una é pigreco per alfa=0 e cioé (a,b,c)(1,0,2)=0 a+2c=0, l'altra condizione é che la distanza tra un punto qualsiasi della retta r(ho preso P(0,1,-1) dopo essermi trovato ...
Buonasera, qualcuno conosce la generalizzazione della matrice di rotazione di un S.R nello spazio quadrimensionale, (se conoscete quella per lo spazio n-dimensionale ben venga!).Grazie
Salve, mi trovo ad affrontare un esercizio del genere:
-In $ V4(R) $ sia $ A $ il sottospazio affine descritto dalla seguente equazione:
$ x1+x2-x3-x4=1 $
e sia $ B=(2,1,1,2^(-1)) + L((4,2,2,1)) $
1) Indicare dimensioni e codimensioni di $ A, B, A∩B, Af(A∪B) $ e per ciascuno di essi dire anche se è un sottospazio lineare.
2) Determinare $ A∩B $
3) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)$ B $ è ortogonale ad $ A $ b) ...
Ciao a tutti!
Mi si chiede: si dica se esiste una funzione lineare L di R^3 in R^3 tale che L(((1,1,1)) = (1,1,1), L((1, 0,−1)) = (1,1,1), L((1,0,0)) = (−1,0,−2).
In caso di risposta affermativa, si dica se è unica e si calcoli l’immagine di (0,0,1).
Calcolare N(L), Im(L) e L^-1 ((1, 1, 1)).
Risolvendo ho trovato L(x,y,z)=(-x+4y-2z,2y-z,-2x+6y-3z), N(L)=(0,1,2) e Im(L)=(-1,0,-2),(4,2,6),(-2,-1,-3).
Ora mi chi si chiede L^-1 ((1, 1, 1)), ma la matrice associata alla applicazione lineare ha ...
Salve a tutti, dovrei risolvere questo esercizio ma ho alcune perplessità in quanto si tratta di operare nello spazio vettoriale $C^4$, ho la soluzione data dal professore ma non capisco alcuni passaggi.
In tale spazio dotato di prodotto scalare euclideo sono assegnati il sottospazio $V={(x,y,z,t) | 2x +iy -2t = 0}$ e l'endomrfismo $\varphi : C^4 -> C^4$ che ad ogni vettore $v in C^4$ associa il suo simmetrico $\varphi(v)$ rispetto a $V$. Calcolare la matrice ...
Domanda, se io sono nello spazio ed ho i piani con equazioni date da sole 2 incognite o da solo una incognita (si dovrebbero chiamare piani coordinati) posso fare questo?
Esercizio di esempio:
I 3 piani (A), (B), (C) appartengono ad uno stesso fascio (proprio od improprio)?
(A)2X -3Y +3 = 0 ; (B)X -Y +6 = 0 ; (C)X -3Z = -1
(In questo caso vi chiedo, in (A)(Z=3), in (B)(Z=6), in (C)(Y=0) ?)
È giusto dire che ad esempio (A) ha equazione Z=3 (Discorso analogo per (B) e ...
Buonasera, mi servirebbe una mano per il seguente esercizio:
Sia $M(R, 2, 2)$ lo spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali. Si consideri l'endomorfi smo f di $M(R, 2, 2)$ che associa ad ogni matrice la sua trasposta.
a) Determinare la matrice A associata ad f relativamente alla base canonica di $M(R, 2, 2)$.
b) Determinare una base per ciascun autospazio di f.
c) Determinare una matrice diagonale D ed una matrice ortogonale invertibile M tali che ...
Ho il seguente esercizio:
Sia data la matrice:
$A=( ( a , 3-a , 8 , 10 ),( 2 , 1-a , 1 , -2a ),( 0 , 1 , 1 , 2 ) ) $, con $a$ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
- $r(A)<=2$ $AAa\epsilonR$;
- Per $a=-3$ $r(A)=2$;
- Non esiste $a\epsilonR$ tale che $r(A)=2$;
- Esiste un numero infinito di valori di $a\epsilonR$ per cui $r(A)=2$;
- Nessuna delle altre risposte.
Ed io per risolverlo faccio questo ragionamento, di cui vi chiedo la ...
Ragazzi potreste aiutarmi a risolvere questo problema? io ho in mente più o meno cosa dovrei fare ma non riesco a metterlo in pratica...Il problema é questo: Determinare i vettori di V3 aventi modulo 3, complanari con i vettori u=i+j e v=3j+2k e che formano un angolo di 3/4 di pigreco con il vettore w=i-k.
il risultato é x1=-i+2j+2k e x2=-(27/11)i-(18/11)j+(6/11)k
io ho pensato che per la condizione di essere complanari devo impostare una matrice 3x3 e considerare il caso in cui questa ha ...
Sia X la conica rappresentata dalla seguente equazione:
$ x^2 + y^2 + 2xy -2x + 1 =0$
1. dire che tipo di conica è
considerate i punti A=(1,-1) B=(1,1) C=(1,0)
2. esistino rette per A tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
3.esistino rette per B tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
4.esistino rette per C tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
svolgimento
1. dall'equazione generale delle coniche trovo che $ac-(b^2)=0$ ed infatti $ 1*1-(1^2)=0 $ quindi è una ...
Sono qui per questo problema apparentemente sciocco.
Devo trovare un piano passante per un punto P (-1,3,4) e perpendicolare ai piani 3x-y+2z-8=0 e x+4y-3z+19=0
Vorrei sapere se il procedimento è giusto visto che il risultato dopo vari tentativi ancora non esce:
Eq. di un piano per un punto
a(x+1)+b(y-3)+c(z-4)+d=0
A questo punto per verificare la perpendicolarità con un sistema a 3 ho:
a+b+c=0
3a-b+2c=0
a+4b-3c=0
E da qui non riesco ad ...
Salve, per impratrichirmi sto cercando di formalizzare la dimostrazione di questo risultato, che dovrebbe essere quasi ovvio:
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Siano date due superifici $X,Y$ bidimensionali in $R^3$ orientate attraverso una mappa di Gauss e una mappa liscia $f:X \rightarrow Y$ (diciamo anche un diffeomerfismo). Queste superfici possiederanno forme di volume $Vol_X$ e $Vol_Y$. E' vero che il pullback $f^*$ è tale che:
$f^* (Vol_Y)(p)= det J(p) Vol_X(p)$ per ogni ...
Salve, ho incontrato in un libro di testo (Cheeger, pag.8) in inglese questa particolare funzione:
$\rho$$(t)=t*v$ is the ray (raggio??) from $0$ $in$ $T_p$ $M$ through $v$ (quest'ultimo non so dov'è preso, immagino in $T_p$ $M$, oppure in $T_v$ $(T_p$ $M)$ )
Conoscete questa funzione? Com'è definita? E come si traduce?
Salve, io ho il seguente sistema lineare di 3 equazioni in due incognite, con parametro:
$ { ( ax-(2+a)y=1 ),( -2x+(a+2)y=1 ),( x-ay=1 ):} $
e quello che mi si chiede è di farne la discussione. L’approccio che ho sempre seguito, e desidero continuare a seguire, perché è quello che mi è stato spiegato dal professore è il seguente:
1)Si considera il determinante della matrice completa B: $ | B| =2a^2-8 $
2) Determiniamo i valori di a per cui $|B|=0$: $|B|=0$→$2a^2-8=0$→$a=2$; ...
non riesco a scrivere l'equazione cartesiana di questa retta in $ mathbb(R)^4 $:
$ mathbb(R)^4{ ( x=-1/2 ),( y=3/2 ),( z= 3-5/6t),( w=-1 ):} $
è sensato scrivere
$ { ( x+1/2=y-3/2 ),( x+1/2=18/5-6/5z ),( 18/5-6/5z=w+1 ):} $
grazie per la pietà.
Salve a tutti, volevo un chiarimento su questi due esercizi..Spero che qualcuno possa aiutarmi
1) Se in V abbiamo infiniti generatori, allora V non è finito dimensionale.
Sembra una domanda ovvia, ma mi è venuto un dubbio: siccome si parla di generatori e non di base, se noi abbiamo un insieme di generatori e vi aggiungiamo i generatori multipli dei primi, non possiamo ottenere infiniti generatori (essendo gli scalari infiniti)?
2) Se f e’ un isomorfismo tra V e W allora esistono due basi ...
Salve a tutti
Vi chiedo una mano a proposito di questo esercizio:
Trova un endomorfismo che ha Autovalori $ 1 , 2 , 3 $ e rispettivi autovettori $(2;1; 0), (-1; -2;-1) $e $(0;-1; -2) $
La mia idea è: seguendo la definizione di autovalore ed autovettore scrivo le immagini degli autovalori.
$f(v1) = (2,1,0) $
$f(v2) = (-2,-4-2) $
$f(v3) = (0,-3,-6) $
Noto che il determinante di v1,v2,v3 non è nullo. Quindi sono una base di $R^3$.
Scrivo la matrice associata con le immagini ricavate ...
salve ho un dubbio non riesco a capire come trovare il rango della seguente matrice :
|2..-1...1|
|1..1...3|
|1..-5..-7|
|1..4...8|
se avessi una matrice quadrata userei la regola di Kronecker attraverso i minori....ma in questo caso come devo procedere?
Un esercizio chiede: Considerati U = L ((1,2,3,0),(-1,-1,-1,-1)) e W = L((0,0,0,1),(1,3,5,0)) discutere la dimensione e determinare U, W, U + W, U $nn$ W.
Allora la dim U è uguale a 2 perché i vettori all'interno del sottospazio sono due e sono linearmente indipendenti, lo stesso vale per W, quindi dim U = 2 e dim W = 2.
Per quanto riguarda la dimensione di U + W ho messo a matrice i quattro vettori e tramite le trasformazioni di Gauss ho trovato che il rango è 3 quindi la dim (U ...
Salve di nuovo,
spero di non violare le regole del forum postando un treadh dietro l'altro, ma ho un dubbio che vorrei risolvere!
Ho studiato che : L’insieme degli autovettori relativi ad un autovalore formano uno spazio vettoriale (sottospazio
di $ R^n$), detto Autospazio relativo all’autovalore :
$ E $( $\lambda$ ) = { autovettori relativi a $\lambda$ }
Non riesco pero a capire quale sia la logica per scrivere le equazioni ...
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