Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
vorrei più una conferma sulla seguente definizione:
siano dati \( \Sigma \) un sistema lineare a \( x_1,x_2,...,x_n \) incognite e coefficienti in \( k\), ed \(\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir}\}\), ove \( i1,i2,...,ir \in \{1,2,...,n\} \), dicesi che \( \{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir} \}\) è l'insieme delle incognite libere di \( \Sigma \) se:
\( \forall(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir}) \in k^r( \exists ! (a_{j1},a_{j2},...,a_{j(n-r)}) \in k^{(n-r)}({j1},{j2},...,{j(n-r)} \in ...

Buongiorno ragazzi, avrei un problema per quando riguarda lo studio della semplicità,vi riporto il testo:
dato l-endomorfismo $ f:mathbb(R^3 rarr R^3) $ associato, rispetto alle basi canoniche, alla matrice $( ( 3 , h,-h ),( 2 , 0 , 1 ),( h , 0 , 1 ) ) $
Nerl caso $h = 0$ studiare la semplicità della f e trovare eventualmente una base di auto vettori.
MI hanno spiegato che si aggiunge $-t$ alla diagonale principale, si calcola il determinante, che in questo caso e' $(2-t)(1-t) (-t)$, si trova la t nei ...

ciao a tutti stò affrontando il tema dellle matrici stocastiche e di come queste si riducono alla forma canonica
qualcuno potrebbe mostrarmi un esempio di come queste si riducono in forma canonica il teorema credo di averlo capito ma nn ho a disposizione esempi pratici qualcuno potrebbe mostrarmene qualcuno o indicarmi dove leggere approposito....
ringrazio in anticipo!
Dovrei svolgere questo esercizio:
Consideriamo le applicazioni lineari: $F: R^3$ $\rightarrow$ $R^2$, $G: R^3$ $\rightarrow$ $R^2$, $H: R^3$ $\rightarrow$ $R^2$, definite da: $F(x,y,z)=(x+y+z, x+y)$,$G(x,y,z)=(2x+z, x+y)$, $H(x,y,z)=(2y, x)$.
Dimostrare che $F,G,H$ sono linearmente indipendenti (come elementi di $Hom(R^3, R^2)$).
Grazie a tutti.

Buongiorno ragazzi, ho un problema nel risolvere il seguente sistema di equazioni:
$ {(2a-b+2g = (1,1)),( 2a+g = (2,2) ),( 2a+3b+2g = (2,4) ):} $
Non so davvero da dove iniziare a risolverlo.. potete aiutarmi per favore? GRAZIE 1000 E BUONA DOMENICA

Non so se era meglio postarlo qui o in analisi, eventualmente spostate voi.
Sto preparando l'esame di Meccanica Razionale, e sto studiando il calcolo tensoriale. Tuttavia leggendo gli esercizi, non riesco a capire come li svolge ... o forse esistono proprietà che io non conosco!
Devo calcolare gradiente , gradiente di gradiente e Laplaciano di $( \vec v ^^ \vec x ) ( \vec w ^^ \vec x) $
dove v e w, in componenti vengono scritti in relazione alla base ortonormale ...
Praticamente il prof svolge l'esercizio, servendosi ...

Salve a tutti! Volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio :
Determinare equazioni della retta r perpendicolare al piano di equazione $ 3x +2y -4z +1 = 0 $
e incidente alla retta s di equazioni : $ x=2z-1$ , $ y=z+3 $
Non riesco a capire come procedere.. sono partito pensando che la retta dovesse avere (3,2,-4) come parametri direttori per essere perpendicolare al piano in questione , però non riesco a capire come imporre l'incidenza con s ..ne come tirarne fuori un'equazione ...

Determinare una base del sottospazio di R3 definito dalle equazioni: $2x-y+3z = 0$,
$x + y = 0.$
SVOLGIMENTO. Il sottospazio W di R3 definito dalle equazioni assegnate è dato
dall'insieme delle soluzioni del sistema
$ { ( 2x - y + 3z = 0),( x + y = 0 ):} $
il quale ha le $ oo^1 $ soluzioni $(x;-x; x)$ $ AA x inmathbb(R) $ . Quindi $W = f(x;-x;-x) =<br />
x(1;-1;-1) | x in mathbb(R)$ cioè $W = Span{(1;-1;-1)}$ . Una sua base è data da
$(1;-1;-1).$
Questo è lo svolgimento dell'esercizio effettuato dal mio libro. Non riesco a ...

Ciao ragazzi, mi trovo a dover svolgere il seguente esercizio e vorrei sapere se imposto il ragionamento nella maniera corretta.
Determinare il segno delle seguenti forme quadratiche su R3 ed esibire un cambiamento di coordinate che le porti in forma normale:
$x^2 + 4xy - 2y^2 -8xz -4yz + z^2$.
Per il calcolo del segno, controllo sei il determinante sia o meno diverso da 0, nel caso sia diverso da 0 applico la regola dei minori di nord ovest, altrimenti devo trovare gli autovalori.
Per esibire il cambiamento ...

Salve a tutti, scusate le domande stupide che sto per porvi, ma sto andando in crisi con delle cose veramente banali.
Per ricavarci una base di \(\displaystyle Im(\phi) \) quando abbiamo la matrice associata \(\displaystyle A \) è possibile operare per colonne (tuttavia non è valida la sostituzione di una colonna per un suo multiplo ( \(\displaystyle I \rightarrow -3I \) ) ma è comunque possibile aggiungere un multiplo di un'altra colonna ( \(\displaystyle I \rightarrow I -3II \) ) ). Una ...

Ciao Ragazzi!
Mi serve aiuto per questo esercizio:
Sia $u \in \RR^3$ un vettore non nullo. Calcolare il polinomio caratteristico dell'operatore lineare di $\RR^3$ $A$, definito come segue $Ax = u$ x $x$ e stabilire se la sua disparità era prevedibile a priori. Quindi, determinare autovalori e autovettori di $A$ e discuterne la diagonalizzabilità.
Allora, io ragiono così: $Ax$ restituisce un vettore ortogonale ai ...

Buonasera.
Ho un esercizio che mi sta dando qualche rogna da oggi pomeriggio.
il testo è il seguente:
Dato un piano $\Pi$ $x - 2 z - 1 = 0$
per ciascuna delle coppie di rette, dire quante ne esistono nel piano complanari ad entrambe, e rappresentarle.
scrivo solo una coppia, giusto per verificare se il mio ragionamento è giusto.
(r1)
$x - 2 y - 3 = 0$
$x - 2 y + z - 3 = 0$
(s1)
$x - 2y + 7 =0$
$x-2y-z+7=0$
1) trovo in che 'relazione' stanno le due rette. Dopo aver ...

Salve! Ho un problema con il seguente esercizio:
"Determinare equazioni cartesiane per il sottospazio $W = Span{(0,2,1,1),(3,1,2,2),(1,1,1,1)} $ di $R^4$ "
Io ho ridotto a scala la matrice associata ai tre vettori generatori di W e ho trovato che W ha dimensione 2 e che ${\vec w_1$,$\vec w_2}$è una base di W.
Poi ho stabilito le equazioni parametriche di W $(x,y,z,w)=r(0,2,1,1)+s(3,1,2,2)$
${( x=3s ),( y=2r+s),(z=r+2s),(w=r+2s):} $
e arrivato a questo punto mi risulta difficile eliminare i parametri e fare il passaggio alle equazioni ...

Ciao a tutti,io non sono purtroppo bravo in matematicama sto cercando di migliorare,io non voglio chiedervi necessariamente questo esercizio svolto,ma più che altro i vari passaggi come si fanno,da premettere che sono come un novellino in matematica(ho scoperto adesso cose un denominatore un numeratore un coefficiente un incognita ecc..tutti termini che mi confondevano,quindi se dovreste usare termini matematici vi chiedoperfavore di spiegarmelo come se fossi un bambino,quasi Dell elementari) i ...

Buongiorno ragazzi, ho un problema.. devo determinare la retta in oggetto avendo $P=(0,1,0)$ una retta $ { ( x=t-1 ),( y=t ),( z=1 ):} $ e un piano $ alpha )2x-y+3z=0 $. Come faccio a determinare tale retta?
Io ho provato a risolvere nel seguente modo:
1. Mi trovo la direzione della perpendicolare al piano :
$[2,-1,3]$
mi trovo la direzione della retta s :
$[1,1,0]$
faccio il prodotto vettoriale: [2,-1,3] x [1,1,0] = [-3,3,3]
e la retta cercata sarà P+t[-3,3,3] = ...

Innanzitutto ciao a tutti, volevo ringraziarvi perchè avete dato un apporto fondamentale alla mia prepararazione per questa ostica materia, anche se è la prima volta che scrivo ho spesso "sfruttato" i quesiti altrui
Ok, dopo la sviolinata inziale procediamo al fulcro della questione:
Mi sto preprando per l'esame di lunedì, e questo esercizio racchiude un pò dei miei dubbi, andiamo per passi:
(a) solitamente mi trovo ad operare su una matrice associata ad un'applicazione lineare, quindi mi ...

Due equazioni algebriche sono equivalenti se e solo se i coefficienti delle due equazioni sono proporzionali (tutti secondo lo stesso fattore di proporzionalità). - [cit. la mia professoressa stamane, distrattamente]
O io e la prof. intendiamo due cose differenti per equazione algebrica, o lei ha detto una cavolata: in $RR$, le $[x^2+y^2=0]$ e $[x^2+2y^2=0]$ sono equivalenti, ma $(1,1)$ non si sogna in alcun modo di essere proporzionale a $(1,2)$.
Il ...
Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio.
Si consideri lo spazio vettoriale euclideo R3 con la base canonica B= (e1,e2,e3)
e1= (1,0,0)
e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1)
Provare che esiste una base B' ortonormale concorde con la base B.
Ho determinato la base B' che è formata dai vettori
\( (1/(3\sqrt{2}),-1/(3 \sqrt2), 4/(3 \sqrt2)) \)
\( (1/ \sqrt2, 1/ \sqrt2,0) \)
\( (-2/3,2/3,1/3) \)
Ora per provare che le B' è concorde a B devo calcolare la matrice di passaggio dalla base B' a B? ...

Buongiorno a tutti, ho appena finito un esercizio del genere e volevo solo essere sicuro di aver fatto tutto nel migliore dei modi...
la retta s è ${(x=y-1),(y=t),(z=1):}$
piano alfa $2x-y+3z=0$
ho trovato due punti di s imponendo prima t=0 e poi t=1,
A=$(-1;0;1)$ B=$(0;1;1)$
trovo la retta ortogonale al piano e passante per A e B
${(x=-1+2t),(y=-t),(z=1+3t):}$
${(x=2t),(y=1-t),(z=1+3t):}$
faccio l'intersezione del piano con la prima e la seconda retta
${(x=-1-2y),(2x-y+3z=0),(z=1-3y):}$
${(x=2-2y),(2x-y+3z=0),(z=4-3y):}$
quindi il ...

Buongiorno ragazzi, ho un problema sulla comprensione dei vettori direttori. Non riesco a capire quando un vettore associato al piano o alla retta risulta essere perpendicolare o parallelo rispetto ad essi.
Es Retta:
abbiamo la retta di equazione $ r){ ( x=3+t ),( y=1-t ),( z=1+2t ):} $
il vettore $ vec(v)(1;-1; 2) $ è parallelo alla retta r. Perché? Come faccio a capire se un $vec(c)(a;b;c)$ è ortogonale alla retta r?
Lo stesso problema sovviene anche con il piano.
Spero di essere stato chiaro, e grazie mille ...