Supporti e partizioni dell'unità

[simone94sr]

Scusate il disturbo ma avrei un dubbio circa una dimostrazione che fa il sernesi sulle partizioni dell'unità.
In particolare, alla fine del teorema in cui dimostra l'esistenza di una partizione dell'unità numerabile subordinata ad un ricoprimento aperto di una varietà differenziabile, afferma che l'unione dei supporti e uguale alla chiusura della stessa (in altre parole l'unione di una famiglia di chiusi localmente finita è chiusa).
Non avendo trattato questi argomenti a lezione (mi servono per degli approfondimenti su altri argomenti), qualcuno può spiegarmi come fare? Una inclusione è ovvia. L'altra non so come trattarla utilizzando il fatto che sia localmente finita.
Grazie.