Matrice semidefinita positiva

[jackn]

salve,
volevo chiederevi se una matrice semidefinita semidefinita non è mai a rango pieno ,perde sempre rango?
Se vado a vedere gli autovalori della matrice semidefinita positiva pari a zero mi indicano quanto perdono?
Grazie mille
ciao

[Paolo902]

Per Sergio: matrice quadrata simmetrica... Se no, bisogna considerare la molteplicità geometrica dell'autovalore 0.

[jackn]

Per quale motivo deve essere simmetrica?

[Paolo902]

A rigore, non deve essere simmetrica, è solo una condizione sufficiente (un'altra c.s. è che sia diagonalizzabile). Quello che deve accadere è che la molteplicità algebrica e geometrica dell'autovalore zero coincidano, altrimenti la frase di Sergio è falsa:
\[A:=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
Si verifica che $A$ ha solo l'autovalore 0 con m.a. 3, ma chiaramente la matrice non ha rango 0. Ha rango 1 (che è 3-2, perché la m.g. dell'autovalore 0 è 2).

P.S. Ieri ho scritto "simmetrica" perché ho visto che tu parli di matrici semidefinite positive... e generalmente questa definizione la si dà nel contesto simmetrico (proprio per essere sicuri che la matrice abbia autovalori reali). Il mio intervento era solo per precisare la frase di Sergio (che sicuramente intendeva questo caso).