Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve. Avrei dei dubbi, e desidererei una conferma a queste pseudo domande:
1) Concettualmente tradurre in formule la frase: " A è l'inversa di B", vuol dire prendere l'inversa di B, cioè $ B^-1 $, e porla uguale a $ A $ ? Cioè: $ B^-1=A $??
2) se volessi tradurre in formule la seguente frase: "Se $ AB=I $ allora $ A $ è l'inversa di $ B $ e viceversa": sarebbe giusto scriverla così: "Se $ AB=I $ allora ...
Ciao di nuovo!
Sto svolgendo un esercizio sulle matrici inverse, chiede di determinare un elemento specifico della matrice inversa senza determinare la matrice inversa.. Mi ricordo di aver gia visto questa tipologia di esercizi, potete dirmi il metodo di risoluzione, è tutto il giorno che cerco su internet e non ho trovto niente. Mi spiegate anche come posso calcolare un elemento specifico della matrice Adjunta? (senza fare tutta la trafila del calcolo della AdjA)
Grazie!!
Ciao grandi!
Non ho mai studiato matematica, ma, anche grazie al vostro sito, ho incominciato ad appassionarmi e a studiare da autodidatta. Argomenti inclusi nei primi 2 anni di Università. Non trovo - o, magari non me ne accorgo - problemi significativi in Analisi I e II - a parte qualche "trucchetto" nello svolgimento degli esercizi - . Ma il progresso è più lento in Algebra. Faccio un esempio. Mi era parso di possedere bene la nozione di spazio vettoriale, sottospazio e di somma diretta di sottospazi. ...
Ciao Ragazzi!
Stavo cercando di dare una dimostrazione alla seguente affermazione:
$rgA=rg\bar{A}$
Credo sia conveniente partire dal Teorema della Dimensione e dimostrare allora che $dimKerA=dimKer\bar{A}$
Come continureste?
Grazie in anticipo
Daniele
Io ho provato così:
Se $ v\in KerA$ allora $ \bar{v} \in Ker\bar{A}$ cioè $KerA$ e $Ker\bar{A}$ hanno lo stesso numero di elementi.
Sia $ B={v_1...v_n}$ una base di $KerA$.Voglio dimostrare che $ C={\bar{v_1}...\bar{v_n}}$ è una base ...
salve, devo risolvere un esercizio che mi chiede di determinare autovalori e autovettori e discuterne la diagonalizzabilità di un endomorfismo. La matrice associata con in partenza e in arrivo la base canonica mi viene simmetrica e 9x9 con det=0. La prof ha detto che se il determinante risulta 0 automaticamente lo 0 appartiene allo spec(f) e gli altri dovrebbero individuarsi attraverso la diagonale(ma non ho capito quale criterio). Qualcuno può precisare questa cosa???? Grazie mille!!!!
salve avrei un problema con il definire f. L'esercizio mi chiede
sia f appartenete End(R(3)) definito da f(X)=5(traspostoX)-5X:
1. calcolare det(f) e rank(f)
2. determinare autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonalizzabilità
Non mi è mai capitato di definire f in questo modo. Avrei bisogno soltanto di capire come impostare f. Potreste aiutarmi cortesemente??? Grazie mille!!!
salve a tutti.
Ho questo dubbio che non mi permette di capire bene i nuovi argomenti che stiamo affrontando.
Il mio libro di Algebra è il Lang. A me piace molto, ma non riesco a capire questa cosa che riguarda le applicazioni lineari associate ad una matrice. Mi vien detto infatti che se ho una matrice, a cui viene associata una funzione lineare devo considerare il vettore delle coordinate di X ( associato ad una matrice A) in forma trasposta. Ma non ne capisco il motivo.
Ecco le testuali ...
Buonasera.
Ho questo problema:
Si determinino i centri delle sfere di raggio $sqrt(11)$ tangenti a $\Pi : x - 3y + z + 1 = 0$ tangenti a $\Pi$ nel punto $A(0,0,-1)$
il numero direttore del piano è $(A,B,C) = (1,-3,1)$
Condizione di tangenza che lega il piano e il raggio:
$|a A + b B + c C|/(2 sqrt( A^2 + B^2 + C^2)) = r $
Formula del piano tangente:
$x_1 x + y_1 y + z_1 z + a/2 (x+x_1) + b/2 (y+y_1) + c/2 (z+z_1) + d = 0$
gli faccio il passaggio del punto
ottengo:
$z (-1 + 1/2) + a/2 x + b/2 y + c/2 + d - c/2 = 0$
$a - 3 b - c = 2 sqrt(11) sqrt(11) = 22$ (2)
dato che conosco i numeri direttori del piano ...
Ciao, amici! I sottogruppi \(C^i (G)\leq G\) sono definiti come \[C^1 (G)=G,\quad C^{i+1}(G)=[G,C^i (G)]\]dove per \([G,C^i (G)]\) si intende il sottogruppo generato dagli elementi di forma \([a,b]:=aba^{-1}b^{-1}\) con \(a\in G,b\in C^i (G)\). Quindi \(C^2 (G)\) è per esempio il sottogruppo commutatore, o derivato che dir si voglia. Si dice nilpotente un gruppo per cui esiste un $n\in\mathbb{N}$ tale che \(C^n (G)=\{e\}\), $e$ elemento neutro del gruppo. Mi si perdoni ...
Dimostrare che uno spazio discreto è metrizzabile.
Allora io ho provato a considerare la metrica discreta, ovvero quella per qui:
$ d(x,y)={ ( 1 se x!= y ),( 0 se x=y ):} $
a questo punto però, non ho ben chiaro come procedere..io devo dimostrare che lo spazio topologico è metrizzabile e quindi, devo dimostrare che tale metrica induce una topologia, come posso procedere? dimostrando le 3 condizioni per cui si ha una topologia?
Sia $f: CC^3 \to CC^3$ un endomorfismo avente solo 2 autovalori distinti. Dimostrare che, se esistono 3 sottospazi distinti di dimensione 2 f-invarianti, allora f è diagonalizzabile.
Provando a dimostrare la contronominale, ho osservato che se f non è diagonalizzabile, essendo triangolabile (perché il campo è $CC$), la sua forma di Jordan è $((lambda, 1, 0), (0, lambda, 0), (0, 0, mu))$ dove $lambda$ e $mu$ sono gli autovalori.
Con tale matrice ho dimostrato che l'autospazio relativo a ...
Ciao a tutti ho un esercizio da svolgere con le matrici come da titolo, vi allego il documento
Grazie a chiunque mi sappia risolvere il problema o comunque a darmi una mano.
Salve a tutti,
ho un dubbio relativo alla parametrizzazione di una curva. Sto svolgendo in realtà un esercizio di Analisi (calcolo di un integrale curvilineo), ma il dubbio è strettamente geometrico: spero che questa sia la sezione giusta.
Devo calcolare l'integrale curvilineo di una data funzione $ f $ lungo la curva $ gamma $. $ gamma $ è definita come la curva intersezione tra la sfera $ x^2+y^2+z^2 = 4 $ e il piano $ (x,y) $. Come parametrizzazione ho ...
sia data la seguente superficie
$P(u,v)=(vcosu,vsen u,u+cv)$ stabilire per quale valore di $c in R$ la superficie è minimale.
voglio usare la definizione: una superficie minimale è una superficie con curvatura media $H$ è identicamente nulla.
poichè $H=TrX/2$ mi serve la matrice della seconda forma fondamentale. $X=G^-1 B$
comincio a calcolare la matrice della prima forma fondamentale
$P_u=(-vsen u, vcosu,1)$, $P_v=(cosu,sen u,c)$ da cui $G=((v^2+1,c),(c,1+c^2))$
cacolo la ...
Salve volevo sapere se esiste un metodo veloce e semplice per vedere se una matrice quadrata di grado 2 o 3 è nilpotente...
non avendo fatto gli auto vettori o auto valori e vedendo che su vari siti c'è il modo tramite questi ultmi non so come fare,
magari il nostro prof all'imminente esame fa lo scherzone di metterci una matrice elevata alla 27 -.- .....
ricordo che ci faceva vedere che una matrice di questo tipo:
| 0 1 |
| 0 0 |
era nilpotente.., se esistono dei trucchetti me li potete ...
Salve a tutti,
Avendo solo una infarinatura generale di calcolo matriciale, peraltro sparpagliata tra esami che riguardavano tutt'altro, non sono riuscito a trovare risposta a determinate domande e spero che possiate chiarire i miei dubbi.
Sia [tex]A \in \mathbb{C}^{n \times m}[/tex], con [tex]n>m(>1)[/tex], una matrice ("alta e magra") a rango pieno (di colonna), ovvero [tex]rank(A)=m[/tex]. Indicando con [tex]A^*[/tex] la trasposta coniugata di A, è possibile costruire la matrice quadrata ...
Ho provato a guardare col motore di ricerca, ma non ho trovato niente di specifico che mi aiutasse a fugare i miei dubbi, ma solo frammenti in varie discussioni. Eventualmente mi scuso se il post è un doppione.
Il mio dubbio è soprattutto teorico. In aula non mi pare che abbiamo dimostrato il fatto che, quando il rango della matrice associata al sistemae lineare omogeneo è diverso dal numero delle incognite ( ovvero ci sono dei parametri liberi ), la dimensione dello spazio delle soluzioni Wo è ...
Salve a tutti
Scrivo il testo dell'esercizio:
Sia $f : R^2 -> R^2$ l'endomorfismo di $R^2$ tale che $kerf = L((5,5))$ e $f((2,3)) = (4,3)$. Determinare gli autovalori e gli autospazi. Mostrare che $f$ è diagonalizzabile e determinare una base $B$ di $R^2$ diagonalizzante $f$. $V = {(x,y)$ $in$ $R^2 | f((x,y)) = (y,x)}$ è sottospazio di $R^2$? Se si determinarne una base e la dimensione.
Buonasera.
Ho una domanda riguardo il prodotto scalare.
In un esercizio viene detto:
Si consideri lo spazio vettoriale numerico $R^3$ con il prodotto scalare euclideo s definito ponendo:
$s{(x,y,z),(x',y',z')} = x*x' + 2 y*y' + 4 zz' + 2 yz' + 2y'z $
si consideri inoltre il seguente endomorfismo:
$f: (x,y,z) \in R^3 -> (2x, 2y, x) \in R^3$
1) Si determini il complemento ortogonale rispetto ad $s$ del sottospazio $L(0,0,1)$
il fatto che ci sia un prodotto che non sia quello scalare ''standard'', mi porta a vedere ...
Salve a tutti,
vorrei più una conferma sulla seguente definizione:
siano dati \( \Sigma \) un sistema lineare a \( x_1,x_2,...,x_n \) incognite e coefficienti in \( k\), ed \(\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir}\}\), ove \( i1,i2,...,ir \in \{1,2,...,n\} \), dicesi che \( \{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir} \}\) è l'insieme delle incognite libere di \( \Sigma \) se:
\( \forall(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir}) \in k^r( \exists ! (a_{j1},a_{j2},...,a_{j(n-r)}) \in k^{(n-r)}({j1},{j2},...,{j(n-r)} \in ...
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