Geometria e Algebra Lineare

Salve premettendo che abbiamo fatto poco di algebra lineare (accennato appena gli autovalori-autovettori) volevo sapere se c'è un trucchetto nascosto dietro questo esercizio per risparmiare tempo all'esame... Matrice: ( 0 -2 -3 ) ( 0 0 -2 ) questa matrice la chiamo A ( 0 0 0 ) Calcolare A^3 e A^4 Calcolare B = I + A + A^2 + A^3 + A^4 io so che può essere nilpotente perchè il determinante è 0, e quindi la moltiplicazione può dare la matrice nulla in quanto det(AB) = ...

Ciao a tutti! scrivo perchè mi sta scoppiando la testa su due esercizi relativamente semplici ma che mi danno diversi dubbi. Ecco la consegna Nell'anello delle classi resto modulo 7, si ha [24]=[16]? Vero o Falso (giustificare la risposta) Nell'anello delle classi resto modulo 9, si ha [82]=[10]? Vero o Falso (giustificare la risposta) 1) FALSA, 24= 3*7+3 mentre 16= 2*7+2 nel primo caso abbiamo la classe resto [3] mentre nel secondo [2] 2) VERO 82= 9*9+1 mentre 10= 1*9+1 in entrambi i ...

Salve ragazzi, studiando oggi ho incontrato sul libro il seguente corollario: Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Ogni n-upla di vettori linearmente indipendenti è una base. Il libro lo dimostra applicando il teorema del completamento. Io ho pensato a un'altra dimostrazione, mi potreste dire se è corretta? Supponiamo di avere un insieme di n vettori linearmente indipendenti: ${v_1,..,v_n} in V$ e supponiamo per assurdo che questi vettori non siano una base di V. Allora ...

Posta la legge sempre vera per cui [tex]det(A)^{-1}=\frac{1}{det(A)}[/tex] perché se [tex]det(A)=0[/tex], allora [tex]det(A)^{-1}\neq \frac{1}{det(A)}[/tex]? Io non capisco quel "non uguale" (vorrei capire dove sbaglio). Questo è il mio ragionamento (evidentemente sbagliato): partiamo dalla regola iniziale [tex]det(A)^{-1}=\frac{1}{det(A)}[/tex] ora, se [tex]det(A)=0[/tex], scrivendo lo [tex]0[/tex] dove prima c'era scrito [tex]det(A)[/tex], otteniamo che [tex](0)^{-1}=\frac{1}{0}[/tex] ...

Ciao ragazzi, devo dimostrare questo fatto: Sia $X$ uno spazio Euclideo e sia $f: \RR \rarr X$ una curva derivabile che non passa per il punto $x_0 \in X$. Dimostrare che, se per un qualche $t_0$ risulta: $|| f(t_0) - x_0 || \le ||f(t) - x_o||\ \forall t \in \RR$. Allora deve essere $f'(t_0)$ ortogonale a $ f(t_0) - x_0 $. Quello che mi si chiede di dimostrare, è che il vettore differenza tra il punto di minima distanza dalla curva ad un punto esterno, ed il punto esterno, sia ortogonale alla ...

Ciao , ho la retta S espressa come intersezione dei due piani : $ 2x - 3y + z = 0 $ e $ x + 2y+z=0 $, pertanto ho il punto P (1,2,3). Determino parametri direttori della retta con metodo di Cramer che risultano essere -5,-1,7 rispettivamente per x,y,z. Dopodichè (e questo non lo capisco) determino il piano passante per il punto P con i medesimi parametri direttori della retta (e dunque parallelo alla retta s?) e con termine noto ricavato sostituendo nell'equazione del piano le coordinate del ...

Ciao ragazzi, mi date una mano a risolvere questo esercizio: Una particella in moto su un piano percorre, pertendo dal punto $(0,0)$ la circonferenza di centro $(1,0)$ fino al punto $(1,−2)$; prosegue poi con direzione rettilinea fino al punto $(3,0)$ e torna infine al punto iniziale muovendosi lungo l’asse delle ascisse. Determinare una curva il cui supporto descriva la traiettoria della particella; determinarne la retta tangente nel punto ...

Salve a tutti ragazzi, oggi stavo rileggendo gli appunti di algebra e mi è venuto un dubbio che mi riesce più facile spiegarvi con un esempio: Sia $\pi$ il piano di equazione vettoriale: $[(x_1),(x_2),(x_3)] = [(1),(0),(-1)] + t[(1),(1),(2)] + s[(3),(1),(-1)]$ Passando all'equazione cartesiana otteniamo: $3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0$. I passaggi che facciamo per arrivare a quest'equazione sono tutti reversibili tranne (teoricamente) l'ultimo: ${ ( 3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0 ),(x_1 - x_2 = 1 + 2s),( x_3 - 2x_2 = -1 -3s):} rarr 3x_1-7x_2+2x_3-1 = 0$ Quando chiesi al professore se in realtà al posto della freccia singola ci andasse il ...

Ciao, amici! Conoscevo la definizione di prodotto tensoriale, dal Sernesi, nei seguenti termini: chiamato \(\mathcal{T}^r(V^\breve{})\) il $K$-spazio vettoriale degli $r$-tensori covarianti, cioè delle forme $r$-lineari di tipo \(F:V^r\to K\), tali cioè che ...

Si munisca R della topologia cofinita. Si discuta la continuità della seguente funzione $ f: Rrarr R $ $ f(x):={ ( x^2/(x-1) ),( 3 ):} $ (f(x) vale 3 se x uguale ad 1;l'altra in tutti gli altri casi)) Allora f è continua se e solo se lo è in ogni punto del dominio. Quindi dobbiamo verificare la continuità in 1. Per farlo volevo applicare il teorema in base al quale f è continua se e solo se per ogni chiuso C del codominio, $ f^-1(C) $ è un chiuso nel dominio.Ora i chiusi nella topologia ...

Ciao, amici! Stavo pensando ad una cosa: l'isomorfismo\[\beta:V\to V^{\breve{}\breve{}},\quad \mathbf{v}\mapsto\beta(\mathbf{v})\]dove $V$ è un $K$-spazio vettoriale, \(V^{\breve{}}\) il suo duale e \(V^{\breve{}\breve{}}\) il suo biduale e si definisce l'applicazione \(\beta(\mathbf{v}):V^{\breve{}}\to K,L\mapsto L(\mathbf{v})\), è l'unico isomorfismo \(V\xrightarrow{\sim} V^{\breve{}\breve{}}\) esistente? Ho l'impressione di sì, ma la matematica non si fa con le ...

Ciao , allora ho la conica $ x^2 + xy + y^2 + 1=0 $, scrivo la corrispondente matrice dei coefficienti, trovo il determinante della matrice F (invariante) e gli autovalori del polinomio caratteristico di F, è evidentemente un'ellisse con termine noto corrispondente al centro di simmetria della conica, dato che questa ha centro in (0;0). la domanda è: l'equazione $ (lambda1)x^2 + (lambda2)y^2 + 1 =0 $ , con lambda1 e lambda2 autovalori di F, cosa rappresenta?

Salve, io ho il seguente insieme numerico: $ X=([-infty;4[nn Z)uu{-n/(n+2):n epsilon N}. $ Io ho cercato di costruire l'insieme finale $X$ graficamente, facendo l'intersezione prima e poi l'unione. Io ho che l'espressione : ${-n/(n+2):n epsilon N}$, sostituendo i valori di $n$, (cioè per $n=0, n=1, n=2, n=3$) genera i corrispondenti valori di $x$, che sono: $0, -1/3, -1/2, - 3/5$. Ed infine sostituendo ad $n$, $+infty$ vedo che l'insieme tende a $-1$. La sua ...

Mi sto preparando per un esame di algebra lineare vorrei chiederti una cosa riguardo la autovalori e autospazi: -Quando devo vedere se un endormorfismo è semplice devo confrontare la molteplicità algebrica e quella geometrica degli autovalori e se sono uguali e semplice,mentre se gli autovalori sono tutti distinti allora la molt. algebrca è 1 e quella geom. deve essere per forza 1 (perche è sempre < della m.a. e > di 1, quindi per forza 1 ),di conseguenza è semplice. Se la m.a. di un ...

Salve a tutti Scrivo il testo dell'esercizio. Calcolare il determinante det A e il rango r(A) della matrice \begin{pmatrix} 1 &-4 &3 &-4 \\ -6 &a & 3 & 3\\ 1 &1 & -2 & 1\\ -2 & 1 &1 & b \end{pmatrix} Se $(0,1,0,0)$ $\notin$ $R_{A}$ quanto vale il numero reale a? Conviene ridurre la matrice A in una matrice a scalini?

Salve, ho la seguente matrice parametrica, $3x3$: $ A=( ( lambda -1 , lambda , 10/3 ),( 1 , -2 , lambda ),( 0 , 3 , 1 ) ) $ . Il determinante di questa matrice è: $12-3lambda^2$. La domanda dell'esercizio è la seguente: Esiste $B$ tale che $AB=BA$ $AAlambda epsilon R$: vero o falso? Io ho risposto: vero, se $B=I$ (I matrice identità), ma non ne sono convinto, vi chiedo una spiegazione convincente, grazie mile.

Buonasera Volevo sapere se è giusto il procedimento che utilizzo per trovare imf e kerf. Ad esempio, se ho una matrice $((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$ Per trovare l'immagine devo imporre f(1,0,0) = (1,4,7) f(0,1,0) = (2,5,8) f(0,0,1) = (3,6,9) Di conseguenza ottengo una matrice che ha come righe le colonne della matrice predente, quindi: $((1,4,7),(2,5,8),(3,6,9))$ Riduco a scalini e ottengo imf? Per quanto riguarda kerf invece devo imporre tutte le righe della matrice uguali a zero e risolvere? Ringrazio ...

Calcolare il determinante di una matrice avente $b$ sulla diagonale principale, $a$ in tutte le posizioni sopra la diagonale e $-a$ in tutte le posizioni sotto la diagonale.

Salve a tutti, stamattina ho avuto il mio primo esame universitario (geometria e algebra) e come esercizio sui sottospazi la prof ha dato un polinomio. L'esercizio è il seguente: In $RR_5 [x] = {f(x) in RR [x] : gr(f) <=5}$ si consideri il sottospazio $U = { f(x)=a_0 +a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5 : a_0+a_1=a_2+a_3=a_4+a_5=0}$ 1) Determinare una base di U e la sua dimensione; 2) completare a base di U ad una base di $R_5[x]$ Premetto che non abbiamo fatto molti esercizi con i polinomi, anzi praticamente nessuno. Ho pensato per prima cosa di trovare ...

Buonasera a tutti! Ho bisogno di aiuto in un esercizio. Potreste dirmi dove sbaglio? Se ho una funzione da C3 a C5 lineare iniettiva definita tale che 3*z1 + i*z2 - 2 * z3 =0 conosco inoltre le relazioni W+ Im f = C5 W (intersecato) Im f =0 Devo trovare la dimensione di W. Io ho proceduto così: Siccome l'intersezione è nulla allora i due spazi sono in somma diretta e quindi la somma della dimensione di W piu quella di Im f = 5. Siccome è iniettiva allora la dimensione del ker è zero ...