Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao a tutti! mi si dice, IN E3, considerare la conica x=yz-2=0 e la retta x=y+z=0: dimostrare che la superficie ottenuta dalla rotazione della conica attorno alla retta è un iperboloide iperbolico.
in realtà io mi perdo moooolto prima: non riesco a capire che razza di conica sia la x=yz-2=0. è in forma proiettiva? non c'è una z di troppo?
grazie per l'aiuto.
salve ho questo esercizio:
Determinare la dimensione ad una base dei seguenti sottospazi vettoriali:
W = L((3,0,1,1), (1,1,0,1), (2h,h+2,h,h+1)) (al variare di h € R)
la prima cosa che ho fatto è vedere se questi vettori sono linearmente indipendenti, facendo lo Span di questi vettori
ed eguagliandolo a zero:
a*(3,0,1,1) + b*(1,1,0,1) + c*(2h,h+2,h,h+1) = 0
ho trovato che per h != -1 sono linearmente indipendenti
per h = -1 mi vengono "a" e "b" scrivibili tramite c,
in particolare a = ...
Allora:
Data la relazione A^2 - 5A + 6I = 0 (I : matrice identità, 0 : matrice nulla), so che A è di ordine 5 (matrice 5x5) e che la traccia di A = 12. Determinare il polinomio caratteristico di A.
Svolgendo l'esercizio, si perviene alle due autosoluzioni t= 2 e t= 3 ( poichè A^2 - 5A + 6I = (A -2I)(A-3I) e i determinanti di ciascuno dei due fattori devono essere necessariamente uguali a 0 affinchè la relazione in ipotesi sia verificata).
Detto ciò, ho appreso solo 2 dei "possibili" 5 ...
Buongiorno
sono incappato in questa proposizione:
se $f$ è una trasformazione lineare $f:I \rightarrow \mathbb{R}^n$ con $I$ parallelepipedo in $\mathbb{R}^n$ e $m(I)$ il suo volume, allora $f(I)$ sarebbe un parallelepipedo il cui volume vale
$$m(f(I))= \det(f')m(I)
$$
dove $f'$ indica la Jacobiana di $f$. Siccome io non sapevo questo fatto, vorrei sapere come si può procedere per dimostrarlo, ...
Esiste una formula che dato un vettore e altri due vettori che individuano un piano mi restituisca la proiezione ortogonale di tale vettore sul piano?
Per quanto riguarda la proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore è facile individuare la formula, ma se ho un piano l'unica cosa che posso dire è che la proiezione ortogonale di un vettore su tale piano sarà un vettore complanare ai due vettori che lo individuano, quindi sarà una loro combinazione lineare.
Grazie in anticipo.
Salve a tutti,
supponiamo di avere la seguente matrice di ordine \( n \times (s+1) \) ad elementi in un campo \( k \)
$$\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} & a_{1(s+1)} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} & a_{2(s+1)} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} & a_{n(s+1)}
\end{Vmatrix} \in \mathfrak{M}_{(n,(s+1))}(k)$$
supponiamo anche che \( s \preceq n \) e per tale ragione, e per spiegarmi meglio, la ...
Scusate, mi è venuto un dubbio.
Sulle mie note c'è scritto che, data una varietà $M$, una sua carta è una coppia $(U,\phi)$ dove $U$ è un aperto di $M$ e $\phi: U \rightarrow D$ è un omeomorfismo, $D$ un aperto di $R^n$.
Ora, abbiamo definito i diffeomorfismi fra varietà: $F:M\rightarrow N$ è un diffeomorfismo se è una mappa liscia con inversa liscia tra varietà.
Ma allora, da questa definizione segue che le carte, che vengono ...
All'interno del corso di Geometria 1 alla Sapienza di Roma stiamo iniziando a trattare le basi della topologia generale. Poiché la materia mi appassiona ed ho a disposizione il libro di testo di Marco Manetti, "Topologia" Ed. Springer, ho cominciato a studiare qualcosa per mio conto, svolgendo passo passo gli esercizi proposti dal libro.
Mi sono però impantanato su questo che segue: (3.17, pag. 46)
Due sottoinsieme di $A,B$ di uno spazio topologico si dicono aderenti se ...
Qualcuno può spiegarmi questa frase? : " ogni equazione cartesiana diminuisce di 1 la dimensione dello spazio di partenza"
consideriamo due basi diverse da quelle canoniche D = {d1,d2} ={(1,1),(2,1)} E = {e1,e2,e3} = {(1,1,0),(0,0,1),(2,0,1)}
calcolare gli elementi della matrice associata in tali basi :
f((x1,x2),(y1,y2,y3)) = x1(y1+y2) + x2(y1-y3)
f(d1,e1) = 3 f(d1,e2) = -1 f(d1,e3) = 3
f(d2,e1) = 5 f(d2,e2) = -1 f(d2,e3) = 5
non riesco a capire come calcola le f..
potreste aiutarmi? grazie
ciao a tutti!!!ho problemi col secondo punto di questo esercizio di geometria proiettiva!Non sono sicura sia corretto.
l'esercizio recita
Si consideri la proiettivita $\phi$ di $P^3(K)$ in sè di matrice
$A=((\alpha,0,0,0),(1,\alpha,0,0),(0,0,\alpha,1),(0,0,0,\alpha))$
1)determinare gli spazi uniti
2)Per ogni retta unita viene indotta una proiettività del fascio di piani di asse quella retta:di che tipo di proiettività si tratta?
1)se prendo come base
$v_0=e_1$, $v_1=e_0$, $v_2=e_2$, ...
Ciao a tutti,
mi domandavo se esiste l'equivalente del prodotto di dualità \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) nel caso in cui io voglia costruire un'applicazione che ha come elementi del dominio delle forme bilineari, cioè una dualità
\[ \langle \Lambda, \omega \rangle := \Lambda(\omega) \]
dove \( \Lambda \) è un'applicazione lineare e \( \omega \) è una forma bilineare.
Qualcuno sa dirmi qualcosa?
Salve, non riesco a risolvere un esercizio sulla diagonalizzabilità.. probabilmente sbaglio qualcosa ma non riesco proprio a capire cosa..
1 - Determinare per quali valori di k la seguente matrice è diagonalizzabile sul campo reale
$ Ak = ( ( k , 0 , -2k ),( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -1 , 1 ) ) $
2 - Trovare, se esistono, una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P tali che $ P^-1\cdot A1 \cdot P = D $ (A1 è A con 1 sostituito al posto di k)
1 - Secondo i miei calcoli il determinante è $ x(x - k -2)(1-x) $ quindi gli autovalori ...
Ciao a tutti,
vorrei raccogliere in questo thread (con il vostro aiuto) delle possibili definizioni di prodotto vettoriale.
In particolare mi interessa conoscere quelle più rigorose da un punto di vista matematico (ad esempio quelle che tirano in ballo l'algebra (multi)lineare) e discuterle assieme allo scopo di capirne il senso.
Inizio io con una considerazione, fissando uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione \( 3 \).
Il prodotto vettoriale deve essere un elemento di \( V \) e ...
Ciao ragazzi!
Mi potreste aiutare a risolvere l'esercizio che sto per scrivervi? Sono in sincera difficoltà!
Sia $V = {v_1, v_2, ..., v_n}$ una base ortonormale per uno spazio euclideo $X$ di dimensione $n$. Stabilire per quali $n$ la base $V$ ha la stessa orientazione della base $W$ definita da :
a) $W = {v_n, v_1, v_2, ...., v_{n-1}}$
b) $W = {v_n, v_{n-1}, ..., v_1}$
A lezione non abbiamo parlato di orientazione delle basi, ma, da quello che ho trovato in ...
ciao a tutti ! ho dei dubbi con un esercizio di geometria 2.
Data la forma quadratica $ \Phi=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz $
si deve ricondurre a forma canonica mediante una trasformazione ortogonale.
Quindi mi sono scritta la matrice associata
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $
calcolando e scomponendo il suo polinomio minimo, esso viene
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $ $ -lambda(lambda+2)(lambda-7) $
con autovalori $ 0, -2, 7 $. Ora calcolando gli autospazi di questi autovalori essi sono
$ V0=<(-1,-2,3)><br />
V-2= <(-1,2,1)><br />
V7= <(4,1,2)> $
questi vettori sono ortogonali ...
Dire se esiste ed è unico, un piano passante per il punto P e che non interseca le rette $r_1$ e $r_2$
$P(1,1,1)$
$r_1:\{(x+y+z+1=0),(x+y-2=0):}$
$r_2:\{(y-z+2=0),(x-y+z-1=0):}$
E' sufficiente che dimostri il fatto che le due rette sono sghembe e poi mostro che non esiste nessun piano passante per il punto (1,1,1) che contenga la retta r_1 e r_2?
Ciao a tutti!
Ultimamente ho iniziato a studiare sull' Arnol'd e mi sta dando un po' di grattacapi.
A parte il capire il tutto scritto in inglese, che mi sta già dando abbastanza problemi, non riesco a capire delle frasi particolari.
Suppongo di non avere capito la teoria dietro. Probabilmente la domanda sarà piuttosto generica e poco efficiente ma vi prego per favore di sforzarvi ne ho davvero bisogno.
Spesso ritrovo fasi come:
"Dilating the extended phase space (x,y) along the y-axis, ...
Salve ragazzi, ho un problema riguardante la ricerca di autovalori e autovettori, vi posto il testo del problema:
Sia $A = (u1=(1,0), u2=(1,1))$ una base di $ mathbb(R^2)$ e sia $f : mathbb(R^2) rarr mathbb(R^2) $ un endomorfismo assegnato mediante $f(u1) = (1,1), f(u2) = (2,2) .$ Cercare gli autovettori e gli autovalori.
Non saprei come procedere, potete aiutarmi? grazie mille
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio:
Rappresentare una retta del piano $Pi$ parallela alla retta r. Dove r:${(2x+y=0),(2x+z-1=0):}$ e $Pi$ di equazione $y-z=0$.
Il risultato riportato è ${(2x+y=0),(y-z=0):}$
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