Esercizio sistema non compreso

[teseien]

allora abbiamo uno spazio vettoriale S € R^3 così definito:

{  x + 2y - 3kz = k^2 - k
{  x -2y + z = 0
{  x +2ky - 3z = 0

tramite un parametro k € R.

trovare k in modo che risulti uno spazio vettoriale
e se questo è diverso dal vettore nullo trovarne una base.....

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Ora: non saprei da dove iniziare, ho risolto il sistema in k ma mi vengono cose complicate con anche k^2
e sinceramente per tirarci fuori qualcosa [guardando se è chiuso rispetto somma e prodotto o se ha il vettore nullo] è un po difficile soprattutto se si tratta del momento dell'esame quando sarò anche nervoso ecc...

non c'è un modo semplice per vedere? dalle soluzioni dell'esercizio ho dedotto che il termine noto "k^2 + k" dovesse essere 0, ma questo succede sempre in ogni sistema generante uno spazio vettoriale, oppure è solo un caso?....

potete spiegarmi anche il perchè bisogna che ci sia sempre un sistema del tipo:

{ equazione con le variabili e senza termini noti = 0
{ equazione con le variabili e senza termini noti = 0
{ equazione con le variabili e senza termini noti = 0

se l'affermazione di sopra è corretta [come fa pensare l'esercizio?]

[j18eos]

CIa0,

per cominciare il titolo di questo thread non è conforme al regolamento... se potresti modificarlo (clicca su modifica in alto a destra);

venendo all'esercizio: non ti viene in mente alcun teorema sulla risolubilità dei sistemi di equazioni lineari che potresti usare?

[teseien]

A me viene in mente i teorema che affermano:

[nel caso si abbiano n equazioni e n incognite]
Se il determinante è diverso da zero allora il sistema ammette una e una sola soluzione altrimenti
ne ammette o infinite oppure nessuna.

e

[nel caso si abbiano m equazioni e n incognite]
Se la matrice incompleta e la matrice completa hanno lo stesso rango
allora il sistema ammette soluzioni che dipenderanno da
( - rango) parametri.



Quindi se ammette soluzioni è uno spazio vettoriale?

[teseien]

L'ho trovata sul libroooooo :) una piccola osservazione che afferma:

L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è uno spazio vettoriale,
in quanto non contiene il vettore nullo.

ma sono curioso di sapere a cosa s'intendesse @j18eos con i teoremi di risolubilità di sistemi lineari,
non ho trovato altro oltre che quei due teoremi o loro varianti minime ...

[j18eos]

"teseien":...L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è uno spazio vettoriale,
in quanto non contiene il vettore nullo...

Vero!, ma quel sistema è non omogeneo per ogni valore reale del parametro \(\displaystyle k\)?