Prodotto tensoriale tra matrici
Parto dalla definizione generale di prodotto tensoriale:
Dati $V_1,...,V_n $ spazi vettoriali, si definisce prodotto tensoriale la coppia $(W,f)$ dove $W$ è uno spazio vettoriale e $f$ è un'applicazione multilineare da $V_1,...,V_n $in $W$ tale che valga la seguente proprietà:
per ogni spazio vettoriale $T$ e applicazione multilineare $g$ da $V_1,...,V_n $ in $T$ esiste un'unica applicazione lineare $h:W\to T$ tale che $g=h \circ f$ .
Ora, il prodotto tensoriale di due matrici $A\in M_{m,n}(\mathbb C), B\in M_{p,q}(\mathbb C)$ è definito come la matrice $A\otimes B \in M_{np,mq} (\mathbb C)$ di componenti
$a_{1,1}B$ $ a_{1,2}B$ $...$ $a_{1,n}B$
$.$
$.$
$.$
$a_{m,1}B$ $ a_{m,2}B$ $...$ $a_{m,n}B$
Vorrei capire come sia possibile dimostrare che il prodotto tensoriale tra matrici definito in questo modo (detto anche prodotto di kronecker) è effettivamente un prodotto tensoriale secondo la definizione premessa all'inizio del post.
Suggerimenti?
Dati $V_1,...,V_n $ spazi vettoriali, si definisce prodotto tensoriale la coppia $(W,f)$ dove $W$ è uno spazio vettoriale e $f$ è un'applicazione multilineare da $V_1,...,V_n $in $W$ tale che valga la seguente proprietà:
per ogni spazio vettoriale $T$ e applicazione multilineare $g$ da $V_1,...,V_n $ in $T$ esiste un'unica applicazione lineare $h:W\to T$ tale che $g=h \circ f$ .
Ora, il prodotto tensoriale di due matrici $A\in M_{m,n}(\mathbb C), B\in M_{p,q}(\mathbb C)$ è definito come la matrice $A\otimes B \in M_{np,mq} (\mathbb C)$ di componenti
$a_{1,1}B$ $ a_{1,2}B$ $...$ $a_{1,n}B$
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$a_{m,1}B$ $ a_{m,2}B$ $...$ $a_{m,n}B$
Vorrei capire come sia possibile dimostrare che il prodotto tensoriale tra matrici definito in questo modo (detto anche prodotto di kronecker) è effettivamente un prodotto tensoriale secondo la definizione premessa all'inizio del post.
Suggerimenti?
Risposte
la domanda non ha senso perchè due matrici non sono due spazi vettoriali. Piuttosto il prodotto tensoriale di due matrici scrive in coordinate il fatto che il prodotto tensoriale è un funtore, ovvero che ogni coppia di applicazioni lineari induce un'applicazione lineare dal prodotto dei domini al prodotto dei codomini.
Aspetta, non ho capito la tua obiezione..Sto considerando una generica matrice $m\times n $ appartenente allo spazio vettoriale delle matrici $m\times n $ e analogamente per le matrici $p\times q $
non ho capito la tua obiezione..
La mia obiezione riguarda un abuso di linguaggio di cui probabilmente non ti sei reso conto.
Affermi:
"albireo":
Parto dalla definizione generale di prodotto tensoriale:
Dati $ V_1,...,V_n $ spazi vettoriali, si definisce prodotto tensoriale la coppia $ (W,f) $ [...] tale che valga la seguente proprietà:
per ogni spazio vettoriale $ T $ e applicazione multilineare $ g $ da $ V_1,...,V_n $ in $ T $ esiste un'unica applicazione lineare $ h:W\to T $ tale che $ g=h \circ f $ .
[...] Vorrei capire come sia possibile dimostrare che il prodotto tensoriale tra matrici definito in questo modo [...] è effettivamente un prodotto tensoriale secondo la definizione premessa all'inizio del post.
E questo non ha alcun senso, perche' in nessun modo una operazione tra oggetti (gli spazi vettoriali) si puo' assimilare ad una operazione tra matrici che rappresentano trasformazioni tra quegli spazi; tanto per fare l'obiezione piu' banale, la matrice che origina dal prodotto tensoriale di due matrici date non sara' per nulla al mondo una coppia composta da uno spazio vettoriale e una mappa bilineare universale verso di esso (l'analogia piu' prossima e' con la frase "so cos'e' un dattero, per analogia qualcuno puo' spiegarmi come e' stato costruito Sotnehenge?"), percio' non ha senso chiedere se "il prodotto tensoriale tra matrici definito in questo modo [...] è effettivamente un prodotto tensoriale secondo la definizione premessa all'inizio del post".
Piuttosto, e' corretto quello che ho detto io: il prodotto tensoriale di due matrici scrive in coordinate il fatto che il prodotto tensoriale \(V,W\mapsto V\otimes W\) è un funtore, ovvero che ogni coppia di applicazioni lineari \(f\colon V\to V'\), \(g : W\to W'\)induce un'applicazione lineare $f\otimes g$ dal prodotto dei domini \(V\otimes W\) al prodotto dei codomini \(V'\otimes W'\). Scelte delle basi per gli spazi vettoriali in gioco, \(f\) avra' per matrice $A$ e $g$ avra' per matrice $B$; allora $f\otimes g$ avra' per matrice esattamente il prodotto di Kronecker di $A$ e $B$, cosa che ti invito a dimostrare. E allo stesso tempo ti invito a dimostrare quella pletora di esercizi interessanti che ti ho linkato sopra.
Volevo aggiungere ciò che sarei portato a credere, ma soprattutto spero di aver capito della faccenda da quel poco che ho letto sullo Strang sul prodotto di Kronecker tra matrici: avrei l'impressione, con qualche piuttosto semplice contarello, che, se $A$ rappresenta l'applicazione \(\mathbb{C}\)-lineare \(f:V\to V'\) rispetto alla base \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) di $V$ e \(\{\mathbf{e}'_1,...,\mathbf{e}'_m\}\) di $V'$ e $B$ rappresenta l'applicazione \(\mathbb{C}\)-lineare \(g:W\to W'\) rispetto alla base \(\{\mathbf{f}_1,...,\mathbf{f}_q\}\) di $W$ e \(\{\mathbf{f}'_1,...,\mathbf{f}'_p\}\) di $W'$, allora \(A\otimes B\) rappresenta l'applicazione \(\mathbb{C}\)-lineare \(f\otimes g:V\otimes W\to V'\otimes W'\) rispetto alle basi rispettivamente \(\{\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{f}_1,...,\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{f}_q,\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{f}_1,...,\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{f}_q,...,\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{f}_1,...,\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{f}_q\}\) di \(V\otimes W\) e \(\{\mathbf{e}'_1\otimes\mathbf{f}'_1,...,\mathbf{e}'_1\otimes\mathbf{f}'_p,\mathbf{e}'_2\otimes\mathbf{f}'_1,...,\mathbf{e}'_2\otimes\mathbf{f}'_p,...,\mathbf{e}'_m\otimes\mathbf{f}'_1,...,\mathbf{e}'_m\otimes\mathbf{f}'_p\}\) di \(V'\otimes W'\). Uso \(\mathbb{C}\) perché è nel post originale, ma mi pare che lo stesso valga su qualunque campo.
Spero di non averle sparate più grosse di quanto possa immaginare...
Spero di non averle sparate più grosse di quanto possa immaginare...
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