Basi ortonormali: dubbio sull'impostazione dell'esercizio
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi sull'impostazione di questo esercizio d'esame di geometria 2
Verificare che lo spazio vettoriale \( V^3 \) rispetto alla forma quadratica
\( Q(x,y,z)=3(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz) \)
è uno spazio vettoriale euclideo (x è un vettore di \( V^3 \), (x,y,z) sono le componenti di x rispetto alla base
B= (v1,v2,v3)). Determinare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare così introdotto.
Per verificare che è uno spazio euclideo basta provare che Q è definita positiva giusto? Questo lo so fare,
ma per determinare una base ortonormale, come faccio? Avevo pensato di usare Gram-Schmidt
ma devo avere dei vettori per partire. Quali sono qui? Non riesco a capire, mi aiutate?
B devo intenderla come base canonica? Devo per caso calcolare
Q(1,0,0), Q(0,1,0), Q (0,0,1) ?
Verificare che lo spazio vettoriale \( V^3 \) rispetto alla forma quadratica
\( Q(x,y,z)=3(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz) \)
è uno spazio vettoriale euclideo (x è un vettore di \( V^3 \), (x,y,z) sono le componenti di x rispetto alla base
B= (v1,v2,v3)). Determinare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare così introdotto.
Per verificare che è uno spazio euclideo basta provare che Q è definita positiva giusto? Questo lo so fare,
ma per determinare una base ortonormale, come faccio? Avevo pensato di usare Gram-Schmidt
ma devo avere dei vettori per partire. Quali sono qui? Non riesco a capire, mi aiutate?
B devo intenderla come base canonica? Devo per caso calcolare
Q(1,0,0), Q(0,1,0), Q (0,0,1) ?
Risposte
Per poter applicare il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt è sufficiente partire da un insieme finito di vettori linearmente indipendenti (ammesso che la matrice canonicamente associata a $Q$ sia simmetrica e definita positiva, come infatti è), quindi nel tuo caso puoi benissimo partire dalla base canonica.
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