Geometria e Algebra Lineare

Perchè i piani: $ 2x-y+2z-2=0 $ $ -2x+y-2z-2=0 $ non sono coincidenti? Perchè ? Il primo piano ed il secondo hanno la stessa normale eppure mi sono accorto che se voglio trovare un piano coincidente al primo devo cambiare segno anche al punto per cui passa ( cioè deve essere $ -2x+y-2z+2=0 $ ), perchè? Grazie

ciao a tutti sono nuova,ma vengo subito al sodo. fissato nel riferimento cartesiano Rc nel piano euclideo E^2,considerate le rette r:x+y+1=0 e s:2x-y+1=0;determinare: 1)l'equazione cartesiana della retta del fascio individuato da r e s e passante per il punto A(2,1); 2)l'equazione cartesiana della retta del fascio precedente e parallela alla retta m:3x-1=0; 3)l'equazione cartesiana della retta del fascio prcedente e ortogonale alla retta x-2y+5=0. Io come prima cosa ho visto che le due rette ...

Buongiorno! ho la seguente curva piana $P(t)=1/4(3cost-cos(3t)),1/4(3sint-sin(3t))$ mi chiede di dimostrare che l'angolo formato dal versore tangente con la direzione dell'asse x è $2t$... non ho idea di come si può fare....la mia idea era di trovare la curvatura (che è $k=4/(3sint)$) e poi integrare ma non viene ...qualcuno mi può dare una mano?

Salve a tutti ragazzi, vorrei una conferma su un mio tentativo di dimostrazione del teorema del completamento. Prima di tutto lo enuncio: Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ e dati ${v_1,...,v_k}$ vettori linearmente indipendenti appartenenti a $V$, sia $B = (alpha_1,...,alpha_n)$ una base di $V$ allora esistono $n-k$ vettori della base $B$ che insieme ai vettori ${v_1,...,v-k}$ formano una base Io nella mia ...

Ciao! Come si capisce se dei vettori sono anche generatori? Per esempio: in R2 {(2, -1/3), (-1, 1/6)} risolvendo il sistema si capisce che sono dipendenti, ma non riesco a capire come fare per sapere se generano o meno! Grazie in anticipo!

Salve a tutti ragazzi. Non sono molto sicuro circa un esercizio che mi chiedeva di decomporre una permutazione come prodotto di trasposizioni. Data la permutazione \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 7 & 8 & 6 & 1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix} \) L'ho calcolata come prodotto di cicli disgiunti $ sigma = (1 5)(2738)(46) $ E il prodotto delle traposizioni dovrebbe essere: \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & ...

Buona sera a tutti, ho qualche problema su questi esercizi.. Grazie mille in anticipo Esercizio 1) Sia $A$ una matrice a elementi reali 5x5. Dire se $B=2A+2A^t$ è diagonalizzabile Esercizio 2) Sia $A$ una matrice 2x2 non simmetrica. Dire se $B=A^t-A$ è diagonalizzabile Esercizio3) Sia $X$ una matrice 3x3. Calcolare il determinante della matrice associata all'applicazione lineare $f=2X-X^t$

Salve vi chiedo perfavore un aiuto in questo esercizio: Dati i vettori u=5i-j+k e v=i-3j+2k determinare w perpendicolare a u,v e tale che w*(i-2j+2k)=2 Qui il teto orginale: http://imageshack.com/a/img713/1980/9tos.jpg Come devo fare?? io so che due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo, ma come devo procedere in questo esercizio??

Siano A=(1,-2) ,B=(-1,4) e C=(2,5) i vertici di un triangolo trovare l'equazione della bisettrice dell'angolo interno AB^C. Qual'è la formula per trovare la bisettrice? Qualcuno mi può linkare delle dispense ben fatte con queste formule di geometria analitica.

Buonasera a tutti. Ho un dubbio nella preparazione dell'esame di geometria e algebra lineare. L'esercizio mi propone la seguente matrice: $ A=( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $ Mi pone alcuni quesiti che sinceramente non sono stati un problema, mi chiede poi: "determinare una base di $ R^3 $ formata da autovettori di A". Io ho trovato che gli autovalori della matrice $ A $ sono $ 0, sqrt3, -sqrt3 $, da qui posso trovare gli autovettori servendomi della formula $ (lambda I-A)v=0 $, ma da qui ...

Salve a tutti, sto approcciando alcuni esercizi su endomorfismi e matrici associate. In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore. Ho un endomorfismo $f: R^3 -> R^3$, associato alla matrice: $M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1))$ devo trovare $Imf$. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche) Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango ...

Ciao a tutti. Ho bisogno di aiuto per un quesito di geometria analitica. Data la circonferenza di equazione $x^2+y^2+2x-6y+8=0$, nel fascio proprio di rette di centro P (-1,1) determina le rette che staccano sulla circonferenza una corda di misura $2*sqrt(6/5)$. Ho provato a fare il metodo classico, mettendo a sistema l'equazione del fascio di rette per P e la circonferenza ma i calcoli sono davvero lunghi. C'è un modo alternativo più comodo? Grazie. Carola

Salve a tutti, volevo sottoporre alla vostra attenzione due quesiti teorici su cui mi sto scervellando da un po' Magari qualcuno è in grado di darmi una mano 1) Sia V spazio vettoriale su K e W suo sottospazio. Dimostrare che se u, v e w generano W, allora anche w+v, u-v+w e u+w generano W. 2) Sia V sottospazio vettoriale e sia {v1..vn} un insieme in cui due vettori sono coincidenti. Dimostrare che questo insieme è linearmente indipendente. Per quanto riguarda il primo quesito, ho ...

Salve a tutti, volevo chiedere aiuto con due quesiti di algebra relativi alle applicazioni lineari che non riesco a risolvere. Si chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false e di darne una motivazione precisa senza ricorrere semplicemente a un teorema studiato. 1) Un'applicazione lineare iniettiva f:R^3 -> R^3 manda rette per l'origine in rette per l'origine. 2) Siano u, v e w vettori in V. Sia T: V -> W applicazione lineare. Se T(u), T(v) e T(w) sono generatori di W, allora u ...

Ciao a tutti. Sto svolgendo un esercizio in cui ho: retta r:x-2y+1=z+y-3=0 piano $\pi$ : x+y-1=0 devo trovare un piano $\sigma$ perpendicolare a $\pi$ e parallelo ad r. Ho proceduto così: Ho preso i parametri direttori di $\pi$ (1,1,0) ho trovato un vettore perpendicolare (1,-1,1) ed ho creato un fascio di piani contenenti $\sigma$ perpendicolari a $\pi$ : x-y+z+d=0. Adesso non ho idea di come procedere, so che per essere ...

Salve, sto provando a risolvere questo esercizio e vorrei qualche indicazione: Sia $M=[-1/2,1/2]\times[-1/2,1/2]//\eta$ con $(x,x')\eta\ (y,y')\iff ((x=x',y=y')vv(\{x,x'\}=\{1/2,-1/2\}^^y'=-y))$ Sia $X=RR\times [-1/2,1/2]$ Consideriamo l'azione di gruppo $ZZ\times X\to X$ data da $n*(x,y):=(n+x,(-1)^ny)$. E' evidente che $X$ sia un $ZZ-spazio$, infatti $\forall n\in \mathbb{Z}$ la mappa $(x,y)\mapsto (n+x,(-1)^ny)$ è continua. Consideriamo il quoziente $X//ZZ$ Allora vorrei che $X//ZZ \cong M$ Abbiamo $p:X\to X//ZZ$ data da $p(x,y)=[(x,y)]$ Poi osservo che ...

Buongiorno a tutti, nella prova d'esame c'era il seguente esercizio: In R3[x] = {f(x) $in$ R[x] : gr (f) $<=$ 3} si considerino i sottospazi: U = L([f(x) = 1+2x+3 x^2 ; g(x) = 1 + x + x^2 + x^3]) e W = L([h(x) = 1 + 3x + 5x^2 ; k(x) = 2 x^3]). 1)Determinare U+W e una sua base; tale somma è diretta? 2) Completare la base di U+W a una base di R3[x] è una scrittura che non avevo mai trovato prima... Potete dirmi per favore solamente come si scrive la matrice ...

Dato uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e un sistema di generatori $A = {v_1,...,v_n}$ di $V$, sia $B$ un insieme massimale in $A$ allora $B$ è una base di $V$. Stavo cercando di dare una dimostrazione diversa da quella che dà il libro: Se per assurdo l'insieme $B$ non fosse un insieme di generatori allora dovrebbe esistere $v in V$ che non si può scrivere come combinazione ...

Salve a tutti, nella definizione di sottospazio il prof ci ha detto: Dato $V$ spazio vettoriale $S$ si dice sottospazio vettoriale se i) $0_v in S$ ii) $\forall v,w in S rarr v+w in S$ iii)$\forall v in S, \forall c in RR rarr c cdot v in S$ (Ho ipotizzato V su R, ma è indifferente) La mia domanda è: la prima condizione non è superflua? Non deriva dalla terza? $\forall v in S, c in RR rarr c cdot v in S rarr 0 cdot v = 0_v in S$? Grazie delle risposte!

Salve a tutti ragazzi, il prof durante il corso ci ha dato il seguente criterio: Dati due spazi vettoriali $S = Span({\alpha_1,...,\alpha_n})$ $T = Span{(\beta_1,...,\beta_n)}$ si ha che: $S sub T hArr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$ La dimostrazione però non l'ha fatta. Ho provato a farla io, potreste dirmi se è corretta? i) $S sub T rarr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$ Se $S sub T rarr \forall v in S, v in T rarr EE a_1,...,a_n$ e $b_1,...,b_n$ t.c. $v = a_1\alpha_1 + ... + a_n\alpha_n = b_1\beta_1 + ... +b_n\beta_n$ Preso quindi $v = \alpha_i$ generico si ottiene la ...