Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti ragazzi,
vorrei una conferma su un mio tentativo di dimostrazione del teorema del completamento.
Prima di tutto lo enuncio:
Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ e dati ${v_1,...,v_k}$ vettori linearmente indipendenti appartenenti a $V$, sia $B = (alpha_1,...,alpha_n)$ una base di $V$ allora esistono $n-k$ vettori della base $B$ che insieme ai vettori ${v_1,...,v-k}$ formano una base
Io nella mia ...
Ciao!
Come si capisce se dei vettori sono anche generatori?
Per esempio: in R2 {(2, -1/3), (-1, 1/6)}
risolvendo il sistema si capisce che sono dipendenti, ma non riesco a capire come
fare per sapere se generano o meno!
Grazie in anticipo!
Salve a tutti ragazzi. Non sono molto sicuro circa un esercizio che mi chiedeva di decomporre una permutazione come prodotto di trasposizioni. Data la permutazione
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 7 & 8 & 6 & 1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix} \)
L'ho calcolata come prodotto di cicli disgiunti
$ sigma = (1 5)(2738)(46) $
E il prodotto delle traposizioni dovrebbe essere:
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & ...
Buona sera a tutti,
ho qualche problema su questi esercizi..
Grazie mille in anticipo
Esercizio 1)
Sia $A$ una matrice a elementi reali 5x5. Dire se $B=2A+2A^t$ è diagonalizzabile
Esercizio 2)
Sia $A$ una matrice 2x2 non simmetrica. Dire se $B=A^t-A$ è diagonalizzabile
Esercizio3)
Sia $X$ una matrice 3x3. Calcolare il determinante della matrice associata all'applicazione lineare $f=2X-X^t$
Salve vi chiedo perfavore un aiuto in questo esercizio:
Dati i vettori u=5i-j+k e v=i-3j+2k determinare w perpendicolare a u,v e tale che w*(i-2j+2k)=2
Qui il teto orginale: http://imageshack.com/a/img713/1980/9tos.jpg
Come devo fare?? io so che due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo, ma come devo procedere in questo esercizio??
Siano A=(1,-2) ,B=(-1,4) e C=(2,5) i vertici di un triangolo trovare l'equazione della bisettrice dell'angolo interno AB^C.
Qual'è la formula per trovare la bisettrice?
Qualcuno mi può linkare delle dispense ben fatte con queste formule di geometria analitica.
Buonasera a tutti. Ho un dubbio nella preparazione dell'esame di geometria e algebra lineare. L'esercizio mi propone la seguente matrice:
$ A=( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $
Mi pone alcuni quesiti che sinceramente non sono stati un problema, mi chiede poi:
"determinare una base di $ R^3 $ formata da autovettori di A". Io ho trovato che gli autovalori della matrice $ A $ sono $ 0, sqrt3, -sqrt3 $, da qui posso trovare gli autovettori servendomi della formula $ (lambda I-A)v=0 $, ma da qui ...
Salve a tutti, sto approcciando alcuni esercizi su endomorfismi e matrici associate.
In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore.
Ho un endomorfismo $f: R^3 -> R^3$, associato alla matrice:
$M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1))$
devo trovare $Imf$. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche)
Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango ...
Ciao a tutti.
Ho bisogno di aiuto per un quesito di geometria analitica.
Data la circonferenza di equazione $x^2+y^2+2x-6y+8=0$, nel fascio proprio di rette di centro P (-1,1) determina le rette che staccano sulla circonferenza una corda di misura $2*sqrt(6/5)$.
Ho provato a fare il metodo classico, mettendo a sistema l'equazione del fascio di rette per P e la circonferenza ma i calcoli sono davvero lunghi.
C'è un modo alternativo più comodo?
Grazie.
Carola
Salve a tutti, volevo sottoporre alla vostra attenzione due quesiti teorici su cui mi sto scervellando da un po' Magari qualcuno è in grado di darmi una mano
1) Sia V spazio vettoriale su K e W suo sottospazio. Dimostrare che se u, v e w generano W, allora anche w+v, u-v+w e u+w generano W.
2) Sia V sottospazio vettoriale e sia {v1..vn} un insieme in cui due vettori sono coincidenti. Dimostrare che questo insieme è linearmente indipendente.
Per quanto riguarda il primo quesito, ho ...
Salve a tutti, volevo chiedere aiuto con due quesiti di algebra relativi alle applicazioni lineari che non riesco a risolvere. Si chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false e di darne una motivazione precisa senza ricorrere semplicemente a un teorema studiato.
1) Un'applicazione lineare iniettiva f:R^3 -> R^3 manda rette per l'origine in rette per l'origine.
2) Siano u, v e w vettori in V. Sia T: V -> W applicazione lineare. Se T(u), T(v) e T(w) sono generatori di W, allora u ...
Ciao a tutti.
Sto svolgendo un esercizio in cui ho:
retta r:x-2y+1=z+y-3=0
piano $\pi$ : x+y-1=0
devo trovare un piano $\sigma$ perpendicolare a $\pi$ e parallelo ad r.
Ho proceduto così:
Ho preso i parametri direttori di $\pi$ (1,1,0) ho trovato un vettore perpendicolare (1,-1,1) ed ho creato un fascio di piani contenenti $\sigma$ perpendicolari a $\pi$ : x-y+z+d=0.
Adesso non ho idea di come procedere, so che per essere ...
Salve, sto provando a risolvere questo esercizio e vorrei qualche indicazione:
Sia $M=[-1/2,1/2]\times[-1/2,1/2]//\eta$ con $(x,x')\eta\ (y,y')\iff ((x=x',y=y')vv(\{x,x'\}=\{1/2,-1/2\}^^y'=-y))$
Sia $X=RR\times [-1/2,1/2]$ Consideriamo l'azione di gruppo $ZZ\times X\to X$ data da $n*(x,y):=(n+x,(-1)^ny)$.
E' evidente che $X$ sia un $ZZ-spazio$, infatti $\forall n\in \mathbb{Z}$ la mappa $(x,y)\mapsto (n+x,(-1)^ny)$ è continua.
Consideriamo il quoziente $X//ZZ$ Allora vorrei che $X//ZZ \cong M$
Abbiamo $p:X\to X//ZZ$ data da $p(x,y)=[(x,y)]$
Poi osservo che ...
Buongiorno a tutti,
nella prova d'esame c'era il seguente esercizio:
In R3[x] = {f(x) $in$ R[x] : gr (f) $<=$ 3} si considerino i sottospazi:
U = L([f(x) = 1+2x+3 x^2 ; g(x) = 1 + x + x^2 + x^3]) e
W = L([h(x) = 1 + 3x + 5x^2 ; k(x) = 2 x^3]).
1)Determinare U+W e una sua base; tale somma è diretta?
2) Completare la base di U+W a una base di R3[x]
è una scrittura che non avevo mai trovato prima... Potete dirmi per favore solamente come si scrive la matrice ...
Dato uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e un sistema di generatori $A = {v_1,...,v_n}$ di $V$, sia $B$ un insieme massimale in $A$ allora $B$ è una base di $V$.
Stavo cercando di dare una dimostrazione diversa da quella che dà il libro:
Se per assurdo l'insieme $B$ non fosse un insieme di generatori allora dovrebbe esistere $v in V$ che non si può scrivere come combinazione ...
Salve a tutti,
nella definizione di sottospazio il prof ci ha detto:
Dato $V$ spazio vettoriale $S$ si dice sottospazio vettoriale se
i) $0_v in S$
ii) $\forall v,w in S rarr v+w in S$
iii)$\forall v in S, \forall c in RR rarr c cdot v in S$
(Ho ipotizzato V su R, ma è indifferente)
La mia domanda è: la prima condizione non è superflua? Non deriva dalla terza?
$\forall v in S, c in RR rarr c cdot v in S rarr 0 cdot v = 0_v in S$?
Grazie delle risposte!
Salve a tutti ragazzi,
il prof durante il corso ci ha dato il seguente criterio:
Dati due spazi vettoriali $S = Span({\alpha_1,...,\alpha_n})$ $T = Span{(\beta_1,...,\beta_n)}$ si ha che:
$S sub T hArr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
La dimostrazione però non l'ha fatta. Ho provato a farla io, potreste dirmi se è corretta?
i) $S sub T rarr \forall i, \alpha_i$ è combinazione lineare di $\beta_1,...,\beta_n$
Se $S sub T rarr \forall v in S, v in T rarr EE a_1,...,a_n$ e $b_1,...,b_n$ t.c. $v = a_1\alpha_1 + ... + a_n\alpha_n = b_1\beta_1 + ... +b_n\beta_n$
Preso quindi $v = \alpha_i$ generico si ottiene la ...
Salve a tutti,
sono di nuovo qui con dubbi sulle definizioni Ahah
Più ripasso e più me ne sorgono.
Sempre legati al concetto di base: una base viene definita come
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ si dice che l'insieme ${v_1,..,v_n}$ è una base se:
- ${v_1,...,v_n}$ sono dei generatori di $V$
- ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti
Il mio dubbio è: non tutti gli spazi vettoriale hanno una base (esempio è lo spazio ...
Ciao a tutti stò cercando di trovare la soluzione di questa matrice 3x4. L'ultimo termine è il termine noto della matrice orlata.
$((1,2,-1,2k,1),(1,1,1,-1,1),(1,k,0,1,1))$
Cerco di trasformarla in una matrice a scalini con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan e arrivo a questo punto
$((1,2,-1,2k,1),(0,-1,2,-2k-1,0),(0,k-2,1,-2k+1,0))$
a questo punto se poniamo K=2 sarei già arrivato alla matrice a scalini e le soluzioni sarebbero (-3t+1, t, 3t, t) ponendo la quarta incognita =t.
Se invece K!= 2 come posso andare avanti? Devo ritrasformare la ...
Salve premettendo che abbiamo fatto poco di algebra lineare (accennato appena gli autovalori-autovettori)
volevo sapere se c'è un trucchetto nascosto dietro questo esercizio per risparmiare tempo all'esame...
Matrice:
( 0 -2 -3 )
( 0 0 -2 ) questa matrice la chiamo A
( 0 0 0 )
Calcolare A^3 e A^4
Calcolare B = I + A + A^2 + A^3 + A^4
io so che può essere nilpotente perchè il determinante è 0, e quindi la moltiplicazione
può dare la matrice nulla in quanto det(AB) = ...
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