Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Buona sera, sono nuovo del forum. sono uno studente al secondo anno di matematica. Sto svolgendo gli esercizi di alcune schede del corso di algebra lineare e geometria analittica. Sono arrivato all'argomento matrici e alcune dimostrazioni mi danno filo da torcere. Questa dimostrazione mi da qualche problema in più:
Sia A∈Mn(K).
a) Provare che se esiste B∈Mn(K) non nulla tale che AB=0 oppure BA=0, allora A non è invertibile.
b) Provare che se A ∈Mn(K) non è invertibile, allora esiste B∈Mn(K), ...
Ciao a tutti, devo dimostrare che ,dati due sottospazi vettoriali $U$ e $V$ di uno stesso spazio vettoriale $W$, se $dim U + dim V = dim W$ allora la dimensione dell'intersezione tra U e V è 0.
Ho pensato di fare così
Supponiamo che $W$ è somma diretta di $U$ e $V$.
Allora $dim U+V = dim W$ e la dimensione dell'intersezione è banale.
Utilizzando la formula di Grassmann diventa
$dim U + dim V = 0 + dim W$ cioè ...
Se una matrice ha solo due autovalori, per di piu coincidenti, posso gia dire che non è diagonalizzabile?
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
L'ho ottenuta dallo studio di una diagonalizzabilita al variare di un parametro
ciao a tutti
non riesco a risolvere questo eserizio
mi da il piano $ alpha : x+ 2=0 $
la retta $ r:x+z+1=0=y-1 $
e il punto $ P=(4,1,-2) $
mi chiede di calcolare l'equazione della sfera con centro sulla retta $ r $ , tangente a $ alpha $ , passante per $ P $ e di raggio minore.
grazie mille a tutti
Giacomo
Stavo leggendo questa discussione viewtopic.php?f=37&t=182851 e mi ha fatto sorgere una domanda.
Ma come è possibile che vi siano endomorfismi in cui immagine e nucleo non sono in somma diretta?
Infatti se associamo una matrice: il nucleo sarà la dimensione del null-space (la nullità) e l'immagine è il rango della matrice. Affermare che alcune volte non siano in somma diretta (e infatti a volte non lo sono da quanto ho capito) equivale ad affermare che nullità più rango vista per le matrici a volte non ...
Ho dimostrato che un'applicazione lineare è isomorfismo se e solo se l'immagine di un insieme di vettori linearmente indipendenti sono un insieme di vettori linearmente indipendenti del codominio.
Ma mi chiedevo: ogni isomorfismo tra due spazi è per forza tra spazi di stessa dimensione? Intuitivamente direi di si.
Ma è dimostrabile che se il dominio ha valori n allora il codominio non può avere dimensione maggiore di n?
Se si come.
Grazie perché sul libro non ne parla.
Buonasera a tutti,
Vorrei sapere, che procedimento utilizzate per verificare se Ker ed im di un'applicazione lineare sono in somma diretta.
Io in genere utilizzo la formula di grassman poichè so che sono in somma diretta se la dim dell'intersezione è 0.
Quindi trovo una base del ker, una dell'im ed una base della somma di ker ed im. Poi faccio: $ dim (Unn W)=dim (U)+dim (W)-dim(U+W) $ , quindi se è 0 sono in somma diretta, in caso contrario no. Pero' non sono sicuro sia corretto questo metodo, voi cosa dite? ...
Salve,
l'esercizio è il seguente:
Allora ho dimostrato la sconnessione dell'insieme delle matrici invertibili usando la continuità della funzione determinante. Mi sono bloccato sul secondo punto. Sto cercando di dimostrare che l'insieme costituito da matrici con determinante strettamente positivo sia connesso (implicando di fatto che sia una componente connessa), ma non so perché mi trovo sempre in un vicolo cieco. Non vedo come possa sfruttare funzioni continue\omeomorfismi, ...
Supponiamo di avere una parabola scritta nella matrice in questo modo $A=((1,2,-3),(2,4,0),(-3,0,1))$
quindi ottengo che il $detA=-36$ e che la $tr_A33=5$ ora a questo punto come determino la canonica???
considero la matrice canonica $((0,0,alpha),(0,beta,0),(alpha,0,0))$
la formula per trovare la canonia è $betaY^2=-alpha/2X$??? in cui $alpha^2beta=-36$ e $beta=5$
quindi $alpha=+-6/sqrt5$ e quindi la formula canonica mi viene $ 5Y^2=+-3/sqrt5X$
non mi trovo con libro e temo che il sia sbagliato ...
Ciao a tutti, mi sono fatto un esempio per cercare di capire una delle proprietà del determinant: ovvero quella che afferma che il det.è una funzione lineare rispetto ai vettori riga della matrice considerata.
det a b c
d+d' e+e' f+f' =
g h i
det a b c
d' e' f'
g h i
+
det a b c
d e f
g h i
È giusto?
Per ...
Data $A(u)=u''−3u′$, da $C^\infty(R)$ in sè, come faccio a determinare il nucleo se non mi viene fornita una base?
Inoltre come si interpreta questa simbologia $C^\infty(R)$?
le risposte sono:
A: nessuna delle altre
B: $⟨t, e^(3t)⟩$
C: $⟨e^t, e^(3t)⟩$
D: $⟨t e^(3t), e^(3t)⟩$
E: $⟨1, e^(3t)⟩$
grazie
A perdita di tempo stavo pensando ad una cosa.
Dati $V,W$ due $RR$ spazi vettoriali della stessa dimensione allora $VtimesW$ è uno spazio vettoriale.
Ovviamente è possibile dotare $VtimesW$ di un prodotto scalare, ma stavo pensando: è possibile fare un prodotto scalare tra vettori di diversi spazi, ma isomorfi?
Ragionando, data $b:VtimesW->RR$ forma bilineare una proprietà importante per i prodotti scalari è che la forma bilineare sia simmetrica, ma ...
Ciao a tutti, vi posto un esercizio e la mia risoluzione per vedere se l’ho svolto bene oppure no.Ringrazio tutti quello che interverranno.
$f:R^3 -> R^3$
Mi viene data l’immagine dei tre vettori della base canonica del dominio
$ f:(1,0,0) = t(1,0,0) +3(0,1,0) -3(0,0,1)$
$f:(0,1,0) = 4(0,1,0) -(0,0,1)$
$f:(0,0,1) = 3(0,1,0)$
Mi ricavo la matrice associata e trovo il vettore che mi rappresenta l’immagine di un generico vettore del dominio.
t 0 0
3 4 3 (x,y,z) =. (tx,3x+4y+3z,-3x-y)
-3-1 0
Mi chiede di trovare il ...
Ciao a tutti, non ho capito questo modo di indicare le matrici:
$Am,n=[aij] i=1,....m j=1,....,n$
Grazie a tutti.
Buongiorno ragazzi, vi scrivo in quanto ho un dubbio sul perché di alcuni passi che il prof dice di seguire per determinare una base a stringhe.
Allora per determinare una base a stringhe, in generale, dobbiamo determinare l'autospazio generalizzato. Fatto ciò ne determiniamo una base \(\displaystyle B \) e rappresentiamo l'operatore \(\displaystyle A:= M^B_B (f) \)
Adesso determiniamo una \(\displaystyle λ-stringa \) di lunghezza \(\displaystyle p \) seguendo tali passi:
- Calcoliamo una base ...
Se una quadrica contiene tre rette a due a due sghembe, che tipo di quadrica può essere? Ho già escluso il cono e il cilindro perché le rette sarebbero tutte incidenti nello spazio proiettivo. Ho escluso anche la quadrica formata da due piani coincidenti e quella da due piani distinti. Restano solo come possibili l'iperboloide, il paraboloide e l'ellissoide. Restano tutte e tre possibili?
Potreste aiutarmi a capire se le mie affermazioni sono corrette, giusto per fare una verifica?
[list=1]
[*:3tpypz3c]Sia $A:X->X$ un operatore autoaggiunto, è sempre diagonalizzabile su $RR$ (per il teorema spettrale)[/*:3tpypz3c]
[*:3tpypz3c] un operatore autoaggiunto (indipendentemente dal dominio di $X$, se $RR$ o $CC$) è tale se la sua matrice associata ha elementi reali sulla diagonale e quelli opposti ...
Sto cercando di fissare un poco le idee sulla teoria che sto studiando al momento e mi sono fatto una domanda a cui non so rispondermi.
Mi chiedevo, ma è sempre possibile diagonalizzare una forma quadratica simmetrica tramite una matrice ortogonale di determinante 1?
Mi è sorta la domanda perché ovviamente è sempre possibile diagonalizzarle tramite una matrice ortogonale (in quanto la matrice associata è simmetrica), ma posso sempre trovarne una di determinante pari a 1?
Avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio su cui mi sono bloccato completamente.
In $R^(2,2)$ si consideri il sottospazio vettoriale $M (R^(2,2))$ delle matrici antisimmetriche.
1. Determinare un sottospazio vettoriale $W$ supplementare di $M (R^(2,2))$.
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $R^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1+A_2$; $A_1 \in M (R^(2,2))$; $A_2 \in W$ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice ...
Vi pongo un'ultima domanda.
Mi chiedevo se con una forma quadratica degenere, e quindi con la bilineare simmetrica ad essa associata degenere vi fosse sempre una base ortogonale. Mi parrebbe di capire di sì leggendo il libro.
Ma non capisco il perché sia possibile essendo il concetto di ortogonalità correlato alla forma bilineare: Infatti se una forma bilineare simmetrica (phi) è degenere essa ha dei vettori sempre phi-ortogonali (kernel di phi), quindi questi vettori potranno essere ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo