Domanda su isomorfismi e dimensione

[lillio1]

Ho dimostrato che un'applicazione lineare è isomorfismo se e solo se l'immagine di un insieme di vettori linearmente indipendenti sono un insieme di vettori linearmente indipendenti del codominio.

Ma mi chiedevo: ogni isomorfismo tra due spazi è per forza tra spazi di stessa dimensione? Intuitivamente direi di si.
Ma è dimostrabile che se il dominio ha valori n allora il codominio non può avere dimensione maggiore di n?
Se si come.

Grazie perché sul libro non ne parla.

[anto_zoolander]

siano $V,W$ due $K$ spazi vettoriali di dimensioni $n,m$.
$V,W$ sono isomorfi se e solo se $n=m$

Supponiamo che siano isomorfi.
Essendo isomorfi esiste $L:V->W$ applicazione lineare biettiva.
Poiché e iniettiva $dimKer(L)=0$
Poiché è suriettiva $dimIm(L)=dimW$
Dalla relazione dimensionale

$dimV=dimKer(L)+dimIm(L)=dimW$

Supponiamo che $n=m$
Il nostro compito è quello di dimostrare che esiste un isomorfismo
Fissiamo basi $B={v_j}_(j inI_n)$ e $B’={w_k}_(k inI_n)$

L’idea è quella di considerare $L(sum_(j inI_n)x_jv_j)=sum_(j inI_n)x_jw_j$
Poiché per ogni $v inV$ esistono unici $x_1,...,x_n$ tali che $v=sum_(j inI_n)x_jv_j$
Questo è chiaramente un isomorfismo, basta che mostri: linearità di $L$, iniettività, suriettività.

[killing_buddha]

Gli isomorfismi tra due spazi vettoriali di dimensione finita sono in biiezione con le permutazioni \(\{1,...,n\}\to \{1,...,m\}\); per ovvi motivi ne esistono solo se $n=m$. Sostanzialmente stai usando il fatto che ogni base di uno spazio vettoriale ha la stessa cardinalità (per quanto banale, è una cosa che va dimostrata, e dovrebbe esserti stato detto).