Un aiuto su esercizio sugli endomorfismi
Avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio su cui mi sono bloccato completamente.
In $R^(2,2)$ si consideri il sottospazio vettoriale $M (R^(2,2))$ delle matrici antisimmetriche.
1. Determinare un sottospazio vettoriale $W$ supplementare di $M (R^(2,2))$.
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $R^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1+A_2$; $A_1 \in M (R^(2,2))$; $A_2 \in W$ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$f : R^(2,2) ->R^(2,2); A->A_2$.
Ho pensato per il primo punto di scegliere come $W$ cioè il supplementare, le matrici simmetriche $S(R^(2,2))$ e anche le soluzioni mi confermano, mi confermano anche che è una buona idea scegliere come basi per lo spazio $A$ generico le basi dello spazio delle simmetriche e quello delle antisimmetriche e poi riferire a queste basi la matrice associata all'endomorfismo. Ma non capisco proprio come fare a trovare la matrice sinceramente.
Io infatti ho:
$B_1=((0,1),(-1,0))$ base per le antisimmetriche
$B_2=((1,0),(0,0)), B_2=((0,0),(1,0)), B_2=((0,0),(0,1))$
$B_1, B_2, B_3, B_4$ sono tutte l.indipendenti e quindi base per $R^(2,2)$
Ora dovrei prendere questi vettori base, crearne l'immagine e poi da quelle trovare le componenti rispetto a questa base così da avere le colonne della matrice associata all'endomorfismo, ma il mio problema è che non ho l'endomorfismo scritto, e non capisco come crearlo:
ad esempio ho pensato di fare:
l'endomorfismo che mi porta nelle simmetriche
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_2),(-x_2,x_4))$ ma non andrebbe bene perché per quanto ne so potrebbe anche essere:
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_3),(-x_3,x_4))$
La matrice associata nelle soluzioni ha questa forma: $M(f)=((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ rispetto alle basi $B_1, B_2, B_3, B_4$ che ho scritto anche io,ma non capisco proprio come arrivarci
In $R^(2,2)$ si consideri il sottospazio vettoriale $M (R^(2,2))$ delle matrici antisimmetriche.
1. Determinare un sottospazio vettoriale $W$ supplementare di $M (R^(2,2))$.
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $R^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1+A_2$; $A_1 \in M (R^(2,2))$; $A_2 \in W$ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$f : R^(2,2) ->R^(2,2); A->A_2$.
Ho pensato per il primo punto di scegliere come $W$ cioè il supplementare, le matrici simmetriche $S(R^(2,2))$ e anche le soluzioni mi confermano, mi confermano anche che è una buona idea scegliere come basi per lo spazio $A$ generico le basi dello spazio delle simmetriche e quello delle antisimmetriche e poi riferire a queste basi la matrice associata all'endomorfismo. Ma non capisco proprio come fare a trovare la matrice sinceramente.
Io infatti ho:
$B_1=((0,1),(-1,0))$ base per le antisimmetriche
$B_2=((1,0),(0,0)), B_2=((0,0),(1,0)), B_2=((0,0),(0,1))$
$B_1, B_2, B_3, B_4$ sono tutte l.indipendenti e quindi base per $R^(2,2)$
Ora dovrei prendere questi vettori base, crearne l'immagine e poi da quelle trovare le componenti rispetto a questa base così da avere le colonne della matrice associata all'endomorfismo, ma il mio problema è che non ho l'endomorfismo scritto, e non capisco come crearlo:
ad esempio ho pensato di fare:
l'endomorfismo che mi porta nelle simmetriche
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_2),(-x_2,x_4))$ ma non andrebbe bene perché per quanto ne so potrebbe anche essere:
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_3),(-x_3,x_4))$
La matrice associata nelle soluzioni ha questa forma: $M(f)=((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ rispetto alle basi $B_1, B_2, B_3, B_4$ che ho scritto anche io,ma non capisco proprio come arrivarci
Risposte
Se $M$ è una matrice, la semisomma di lei e della sua trasposta è simmetrica, mentre la semidifferenza di lei e della sua trasposta è una matrice antisimmetrica. E la somma delle due fa $M$. Questo ti permette di determinare la matrice di questa applicazione lineare in ogni base, perché te ne ho dato una descrizione intrinseca. Scegli la tua base preferita.
Ho aspettato un poco a rispondere per poterci ragionare sopra.
Quello che dicevi sulle matrici e le semisomme e semidifferenze è proprio quello che mi ha spinto a scegliere quello spazio delle simmetriche.
Tuttavia ho tentato in tutti i modi ma non riesco proprio ad uscire, non capisco come impostare la relazione f:R2,2->R2,2
Utilizzando queste informazioni
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $R^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1+A_2$; $A_1 \in M (R^(2,2))$; $A_2 \in W$ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$f : R^(2,2) ->R^(2,2); A->A_2$.
per giungere a:
$M(f)=((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
rispetto alle basi
$B_1=((0,1),(-1,0)), B_2=((1,0),(0,0)), B_3=((0,0),(1,0)), B_4=((0,0),(0,1))$
con B1 delle antisimmetriche e le restanti delle simmetriche.
Non lo chiedo per pigrizia, è che non capire le cose mi disturba! E vorrei riuscire a capire come si fa.
Grazie per la vostra gentilezza in tutte le vostre risposte che mi avete dato fino ad ora
Quello che dicevi sulle matrici e le semisomme e semidifferenze è proprio quello che mi ha spinto a scegliere quello spazio delle simmetriche.
Tuttavia ho tentato in tutti i modi ma non riesco proprio ad uscire, non capisco come impostare la relazione f:R2,2->R2,2
Utilizzando queste informazioni
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $R^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1+A_2$; $A_1 \in M (R^(2,2))$; $A_2 \in W$ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$f : R^(2,2) ->R^(2,2); A->A_2$.
per giungere a:
$M(f)=((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
rispetto alle basi
$B_1=((0,1),(-1,0)), B_2=((1,0),(0,0)), B_3=((0,0),(1,0)), B_4=((0,0),(0,1))$
con B1 delle antisimmetriche e le restanti delle simmetriche.
Non lo chiedo per pigrizia, è che non capire le cose mi disturba! E vorrei riuscire a capire come si fa.
Grazie per la vostra gentilezza in tutte le vostre risposte che mi avete dato fino ad ora
Devi solo applicare la definizione di matrice associata. Calcola \(f(B_1), f(B_2), f(B_3), f(B_4)\), scrivine i vettori delle coordinate rispetto alla base \(B_1, B_2, B_3, B_4\) e mettili sulle colonne di una matrice.
Non sto facendo altro che ripetere la definizione. La prossima volta, per prima cosa, apri il libro e cerca le definizioni rilevanti.
Non sto facendo altro che ripetere la definizione. La prossima volta, per prima cosa, apri il libro e cerca le definizioni rilevanti.
Grazie:)
Il mio problema è che però non ho la scrittura estesa dell'endomorfismo, cioè non so materialmente come fare
l'endomorfismo che mi porta nelle simmetriche ad esempio potrebbe essere
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_2),(-x_2,x_4))$ ma per quanto ne so potrebbe anche essere:
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_3),(-x_3,x_4))$
Non capisco cioè come calcolare
$f(B 1 ),f(B 2 ),f(B 3 ),f(B 4 )$ senza una formula esplicita di "f" e mi blocco
Il mio problema è che però non ho la scrittura estesa dell'endomorfismo, cioè non so materialmente come fare
l'endomorfismo che mi porta nelle simmetriche ad esempio potrebbe essere
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_2),(-x_2,x_4))$ ma per quanto ne so potrebbe anche essere:
$f((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((x_1,x_3),(-x_3,x_4))$
Non capisco cioè come calcolare
$f(B 1 ),f(B 2 ),f(B 3 ),f(B 4 )$ senza una formula esplicita di "f" e mi blocco
Ma dai, più esplicita di così:
\[
f(A)=\frac{1}{2}(A+A^T).\]
E questo ti è stato detto da killing_buddha subito dopo la tua domanda originale.
\[
f(A)=\frac{1}{2}(A+A^T).\]
E questo ti è stato detto da killing_buddha subito dopo la tua domanda originale.
Grazie,
incredibile... non lo vedevo.
Eh già, vado a nascondermi
incredibile... non lo vedevo.
Eh già, vado a nascondermi
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