Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Allora premetto che ho già cercato su internet la dimostrazione di questo teorema e aggiungo che l'ho si trovato ma solamente con la dimostrazione per induzione.
Il mio prof. l'ha dimostrato per assurdo e credo che lo vorrà essere dimostrato cosi anche per l'esame orale.
Quindi ho un necessario bisogna del vostro aiuto.
Ora provo a dimostrarlo io e desidero che qualcuno mi dica se è corretto e se nel caso non lo fosse gradirei una correzione.
Siano $lambda$1 ...
Data una retta r in $A^3(R)$ di equazione r: $z=x+1$ e $y=x-1$, mi chiede di trovare l'equazione del fascio di piani perpendicolari ad $r$ e del fascio di piani contenenti $r$. E di scriverne in seguito anche le equazioni proiettive.
Io innanzitutto ho controllato che i due piani che descrivono $r$ sono incidenti e quindi individuano una retta propria. Calcolando il prodotto scalare fra $(1,0,-1)$ e ...
Credevo di aver compreso che nel caso avessi una matrice associata ad un operatore lineare, simmetrica e con i termini sia sulla diagonale che sul resto con valori reali, si potesse affermare che l'operatore è autoaggiunto e si potesse dire che è diagonalizzabile ed ha tutti autovettori distinti.
Dato che è qualche tempo che mi sono affezionato a questo forum e nonostante i miei dubbi superscemi sono stato da voi accolto e accompagnato nell'apprendimento, mi piacerebbe chiedervi alcune delucidazioni (soprattutto da matricola in fisica).
Mi riferisco in particolare con questo post a Feddy, Magma, Cooper, Killing.. Insomma quelli che ho visto essere davvero onnipresenti qui
Tenete conto che non sono una grande mente, tutt'altro anzi (più che altro l'opposto )... sono solo spronato da ...
Nello spazio vettoriale R³ sul campo R, si consideri il prodotto scalare
(x¹,x²,x³)(y¹,y²,y³) = x¹y¹ + x²y¹ + x¹y² + 2x²y² + 2x³y² + 2x²y³ + 5x³y³
a) Rispetto al prodotto scalare consideratp, la base canonica di R³ è ortogonale ? E' ortonormale ?
b) Stabilire se i vettori a = ( 1, -1, 0 ) e b = ( -1, 2, -1 ) costituiscono una base ortogonale per il sottospazio U = Span(a,b).
c) Costruire una base ortonormale (u1, u2, u3) di R³ rispetto al prodotto scalare considerato, con u1, u2 ∈ U.
I punti ...
Tempo fa avevo visto un esercizio sulle funzioni continue da uno spazio metrico compatto $(X,d)$ (con $X!=\emptyset$), il testo non sono sicuro di ricordarmelo bene, mi sembra che fosse: "Sia $f:X->X$ continua, allora esiste un sottoinsieme $\emptyset!=A\subX$ con la proprietà che $f(A)=A$".
È vera questa cosa? Se si, come si dimostra?
Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un ...
f : lR3 $rarr$ R4 sia definita da f(x1, x2, x3) = (x1, x1 + x2 − x3, 2x1 +x2 − x3, x2 − x3). Sia w 2 Im(f), allora w = (a1, a2, a3,a4) tali che:
x1 = a1
x1 + x2 − x3 = a2
2x1 + x2 − x3 = a3
x2 − x3 = a4
da cui ricaviamo che a2 = a1 + a4 e a3 = 2a1 + a4 per cui w = (a1, a1 + a4, 2a1 +a4, a4), per ogni a1, a4 R.
Im(f) = {(a1, a1 + a4, 2a1 + a4, a4) : a1, a4 $in$ R} =< (1, 1, 2, 0), (0, 1, 1, 1) >
sottospazio di dimensione 2 di $in$ R4.
Qualcuno me lo potrebbe ...
Salve a tutti.
Il mio dubbio, probabilmente stupido, riguarda come mettere le incognite all’interno di una matrice. Vi spiego meglio; se per esempio, devo risolvere il sistema
$\{(2x + y + 3z = 12),(4y - z = -7),(5x + 8z = 34):}$
la sua matrice dei coefficienti sarà la seguente
$((2,1,3),(0,4,-1),(5,0,8))$
Se invece devo risolvere un problema del tipo: dimostrare che i vettori v(1,0), w(0,1) e u(2,0) sono linearmente dipendenti, devo formare un sistema omogeneo con i coefficienti dei vettori. Quindi, la matrice dei coefficienti ...
Trovare la matrice associata all’endomorfismo su $RR3$ definito da $A((x),(y),(z))=((1,1,−1),(1,-1,-1),(-1,-1,-1))((x),(y),(z))$ e alla base, uguale per dominio e immagine, ${(1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)}$
Prima calcolo $A((1),(1),(1))$, $A((0),(2),(1))$, $A((0),(0),(3))$
p.e.
$A((1),(1),(1))=((1),(-1),(-3))$
ma poi devo calcolare il vettore in funzione della base, devo quindi calcolare questa sistema per ognuno dei vettori?
$\alpha((1),(1),(1)) + \beta((0),(2),(1)) + \gamma((0),(0),(3))=((1),(-1),(-3))$
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardo allo studio della definitezza di una matrice A:
per vedere se A è definita positiva vedo il determinante dei minori di N-O e nel caso siano tutti positivi posso dire che è definita positiva.
In caso il determinante di uno dei minori di N-O è non positivo, per dire che A è semidefinita positiva devo verificare che il determinante di tutti i minori principali sia non negativo.
Ad esempio data la matrice $ A= ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) $ quali sono i suoi minori principali?
Buonasera,
In \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) si considerino i polinomi:
\(\displaystyle \begin{cases} p_1(x)=3-x+x^2 \\ p_2(x)=x-x^2+2x^3 \\ p_3(x)= 2-x^2+x^3 \\ p_4(x)=x-2x^2+3x^3 \end{cases} \)
Verificare che l'insieme \(\displaystyle B=p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) e determinare le componenti del polinomio \(\displaystyle p(x)=x-x^2 \) rispetto alla base \(\displaystyle B \).
Per confermare che \(\displaystyle B\) risulti una base, ...
Dato il vettore $x=(1,−1,0)$ e l’insieme $X=(−1,−1,0)+⟨(−1,0,1),(1,0,1)⟩$
ho pensato di risolvere il sistema in questo modo per capire se $x$ appartiene all'insieme $X$:
$X=(−1,−1,0)+alpha(−1,0,1)+\beta(1,0,1)=(1,−1,0)$ dove ottengo $\alpha=-1$ e $\beta=1$ pertanto il sistema ha soluzione e $x$ appartiene all'insieme.
Non capisco perché nella soluzione si afferma: $X$ non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ e $x ∈ X$
La prima affermazione ...
Ciao a tutti ho bisogno di un aiuto con questo sistema lineare. Allora ho $2x+ky+z=5$
$4x+2ky+2z=10$
$4x+2y+2z=2$
ho trovato il il rango e per k diverso da 1 sia nella matrice completa che incompleta è uguale a 2 . Quindi per trovare le soluzioni ho ridotto il ...
Ho un po' di difficoltà a prendere dimestichezza con i fibrati vettoriali. Ad esempio ho un problema con quanto segue.
Costruisco una famiglia di fibrati in rette (o lineare) sullo spazio proiettivo reale \(\displaystyle \Bbb P_{\Bbb R}^n \) prendendo gli atlanti
\(\displaystyle U_j = \{ [x^0, \ldots , x^n] | x_j \neq 0 \} \)
e le funzioni di transizione \(\displaystyle g_{ji} = \left( \frac{x^h}{x^k} \right)^d \) con \(\displaystyle h,k \in \{0, \ldots, n \} \) e \(\displaystyle d \in \Bbb ...
Data la matrice :
$((1,0,1),(0,1,0),(2,0,3))$
$A:$ nessuna delle altre
$B:$ è diagonalizzabile perchè ha tre autovalori distinti
$C:$ è autoaggiunta
$D:$ è diagonalizzabile perchè l’autospazio dell’autovalore doppio ha dimensione due
$E:$ non è diagonalizzabile perché non ha tre autovalori distinti
$C$ non può essere in quanto la matrice non è simmetrica e non ha alcun termine in $CC$, in ogni caso va ...
Buonasera a tutti, volevo chiedervi un aiuto su un esercizio che sto cercando di risolvere.
"Si verifichi che l'insieme A = {(x,y,x+y)} sia un sottospazio vettoriale di R3 e se ne determini una base."
Ho dimostrato facilmente che contiene il vettore nullo perchè (0,0,0) sostituito in (x,y,x+y) è uguale a se stesso.
Non ho capito bene come dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
Per quanto riguarda la base non posso considerare z=x+y e assegnando due ...
Scusate ragazzi per la domanda forse banale...
Avendo una matrice simmetrica $M$ , e $v$ vettore , sono equivalenti queste espressioni ??
$v$ $cdot$ $M$ $cdot$ $v$ = $M$ $cdot$ $v$ $cdot$ $v$
Ho fatto qualche prova e sembra funzioni ... ma matematicamente è giusto ?
Buonasera,
Al momento mi sfugge il perché le componenti di vettori linearmente indipendenti sono esse linearmente indipendenti
Ma il cambiamento di base si può ottenere sia per matrici e sia per endomorfismi??
nello specifico sono due cose distinte o sono la medesima cosa??
Ciao ragazzi, devo dimostrare che il cilindro $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ è diffeomorfo alla sfera $S^n\setminus\{N,S\}$. Qualcuno potrebbe dirmi se ho ragionato nel modo corretto?
Considero $S^n\setminus\{N,S\}$ l'atlante $\{(S^n\setminus\{N,S\},\varphi_N)\}$, dove $\varphi_N$ è la proiezione stereografica dal polo Nord.
$\varphi_N: S^{n}\setminus\{N,S\} \rightarrow \mathbb{R}^n \setminus {0},\ \ \ \ \ (y_1,\ldots,y_{n+1}) \mapsto \frac{1}{1-y_{n+1}}(y_1,\ldots,y_n)$,
con
$\varphi_N^{-1}:\mathbb{R}^n \setminus {0} \rightarrow S^{n}\setminus\{N,S\} ,\ \ \ \ \ v=(v_1,\ldots,v_{n}) \mapsto \frac{1}{1+||v||^2}(2v_1,\ldots,2v_{n},||v||^2-1)$.
Su $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ considero l'atlante $\{(U_1,\varphi_1),(U_2,\varphi_2)\}$, dove $U_1=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,1)\}\times\mathbb{R}$ e $U_2=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,-1)\}\times\mathbb{R}$ e
$\varphi_1: U_1 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1-x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_{n}},x_{n+1})$
$\varphi_2: U_2 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1+x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1+x_{n}},x_{n+1})$, ...
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