Ragionamento sui sottospazi
Ciao a tutti, devo dimostrare che ,dati due sottospazi vettoriali $U$ e $V$ di uno stesso spazio vettoriale $W$, se $dim U + dim V = dim W$ allora la dimensione dell'intersezione tra U e V è 0.
Ho pensato di fare così
Supponiamo che $W$ è somma diretta di $U$ e $V$.
Allora $dim U+V = dim W$ e la dimensione dell'intersezione è banale.
Utilizzando la formula di Grassmann diventa
$dim U + dim V = 0 + dim W$ cioè $dim U + dim V = dim W$ e se $dim U + dim V = dim W$ allora l'intersezione è per forza banale e quindi ho dimostrato che dim U intersecato V è 0.
Poi devo anche dimostrare che se $ dim U + dim V > dim W$ allora la dimensione dell' intersezione è diversa da 0.
Ho pensato di fare così:
Supponiamo che $dim U+V = dim W$ e imponiamo che $dim U + dim V > dim W$
Allora si ha che la $dim U + dim V$ è diveros da $dim W$ e quindi dato che la formula di Grassmann dice che
$dim U + dim V =$ dim.intersezione$+ dim U+V$ allora l'intersezione non può essere banale.Tra l'altro si ha che W non è somma diretta di U e V.
È un ragionamento giusto? Grazie.
Ho pensato di fare così
Supponiamo che $W$ è somma diretta di $U$ e $V$.
Allora $dim U+V = dim W$ e la dimensione dell'intersezione è banale.
Utilizzando la formula di Grassmann diventa
$dim U + dim V = 0 + dim W$ cioè $dim U + dim V = dim W$ e se $dim U + dim V = dim W$ allora l'intersezione è per forza banale e quindi ho dimostrato che dim U intersecato V è 0.
Poi devo anche dimostrare che se $ dim U + dim V > dim W$ allora la dimensione dell' intersezione è diversa da 0.
Ho pensato di fare così:
Supponiamo che $dim U+V = dim W$ e imponiamo che $dim U + dim V > dim W$
Allora si ha che la $dim U + dim V$ è diveros da $dim W$ e quindi dato che la formula di Grassmann dice che
$dim U + dim V =$ dim.intersezione$+ dim U+V$ allora l'intersezione non può essere banale.Tra l'altro si ha che W non è somma diretta di U e V.
È un ragionamento giusto? Grazie.
Risposte
Non ho capito la dimostrazione del primo punto, nemmeno quella del secondo punto.
Precisamente:
non ho capito cosa hai fatto qui, né dove usi l'ipotesi, né se stai ancora ipotizzando $W$ come somma diretta di $U$.
E' proprio necessario supporre che $dim(U+V) = dimW$? E se fosse $dim(U+V) < dim W$?
Potresti essere più chiaro?
Ciao.
Precisamente:
"JackPirri":
[...]
Utilizzando la formula di Grassmann diventa
$ dim U + dim V = 0 + dim W $ cioè $ dim U + dim V = dim W $ e se $ dim U + dim V = dim W $ allora l'intersezione è per forza banale e quindi ho dimostrato che dim U intersecato V è 0.
[...]
non ho capito cosa hai fatto qui, né dove usi l'ipotesi, né se stai ancora ipotizzando $W$ come somma diretta di $U$.
Poi devo anche dimostrare che se $ dim U + dim V > dim W $ allora la dimensione dell' intersezione è diversa da 0.
Ho pensato di fare così:
Supponiamo che $ dim U+V = dim W $ e imponiamo che $ dim U + dim V > dim W $
E' proprio necessario supporre che $dim(U+V) = dimW$? E se fosse $dim(U+V) < dim W$?
Potresti essere più chiaro?
Ciao.
Ciao, per quanto riguarda il primo punto: se W è somma diretta di U e V allora $dim U+V = dim W$ perciò sostituendo nella formula di Grassmann si ha che( sì ipotizzo ancora che W è somma diretta di U e V) $dim U + dim V = 0 + dim W$ perciò se $ dim U + dim V = dim W$ allora la dimensione dell'intersezione è per forza banale.
Per quanto concerne il secondo punto: occhio che è $ dim U + dim V > dim W$ non $dim U + V$.
Per quanto concerne il secondo punto: occhio che è $ dim U + dim V > dim W$ non $dim U + V$.
Ok ma tu per ipotesi hai solo che $dimU + dimV = dimW$, l'ipotesi di somma diretta l'hai aggiunta tu. Se $W$ non è in somma diretta, cosa succede?
Analogamente per il secondo punto l'ipotesi $dim(U+V) = dimW$ l'hai aggiunta tu, quindi cosa accade se $dim(U+V) < dimW$?
Analogamente per il secondo punto l'ipotesi $dim(U+V) = dimW$ l'hai aggiunta tu, quindi cosa accade se $dim(U+V) < dimW$?
Se considero $dim U + dim V < dim W$.
Si ha che W nin è somma diretta di U e V e quindi l'intersezione non è banale.
Questa volta nin c'è bisogno di supporre che $dim U + V = dim W$ perchè fondamentalmente non può verificarsi: $ U + V$ è generato dai vettori della base di V e dai vettori della base di U ma se $dim U + dim V < dim W$ allora $dim U + V$ non sarà uguale a $dim W$.
Si ha che W nin è somma diretta di U e V e quindi l'intersezione non è banale.
Questa volta nin c'è bisogno di supporre che $dim U + V = dim W$ perchè fondamentalmente non può verificarsi: $ U + V$ è generato dai vettori della base di V e dai vettori della base di U ma se $dim U + dim V < dim W$ allora $dim U + V$ non sarà uguale a $dim W$.
Allora prendendo come ipotesi solo che $dim U + dim V = dim W$ non si può dimostrare che l'intersezione è banale?Grazie.Altrimenti come si potrebbe fare?
Beh allora la proposizione che stai dimostrando in generale è falsa.
Per il punto $2$ tu devi provare o confutare la seguente proposiziond: dati $U,V \subset W$ sottostazione tali che $dim(U) + dim(V) > dimW$ allora $dim(U nn V) > 0$.
Nella dimostrazione tu hai supposto, a caso, $dim(U+V) = dimW$, è un'ipotesi che TU hai aggiunto ma di cui non hai bisogno per dimostrare/confutare la proposizione. Se vuoi fare una dimostra completa e parti da <> allora devi analizzare anche il caso $dim(U+V) < dimW$(è ovvio che $dim(U+V) > dimW$ è impossibile.
Per il punto $2$ tu devi provare o confutare la seguente proposiziond: dati $U,V \subset W$ sottostazione tali che $dim(U) + dim(V) > dimW$ allora $dim(U nn V) > 0$.
Nella dimostrazione tu hai supposto, a caso, $dim(U+V) = dimW$, è un'ipotesi che TU hai aggiunto ma di cui non hai bisogno per dimostrare/confutare la proposizione. Se vuoi fare una dimostra completa e parti da <
Forse posso fare così:
$U,V C R^8$ (per esempio)
Se $ dim U + dim V = dim R^8$
si ha che dim U inters.V è uguale a 8 - $dim U + V$ la dimensione di U + V è compresa tra 0 e 8 (estremi inclusi). Quando è uguale a 8 l'int.è banale, per valori inferiori ad 8 invece non è banale.
Se $dim U + dim V > dim R^8$ per esempio $dim U=4 dim V=5$ allora si ha che la dimensione dell'intersezione è uguale a 9 - dim U + V che però può essere al massimo 8 quindi in questo caso l'int. non è mai banale.
$U,V C R^8$ (per esempio)
Se $ dim U + dim V = dim R^8$
si ha che dim U inters.V è uguale a 8 - $dim U + V$ la dimensione di U + V è compresa tra 0 e 8 (estremi inclusi). Quando è uguale a 8 l'int.è banale, per valori inferiori ad 8 invece non è banale.
Se $dim U + dim V > dim R^8$ per esempio $dim U=4 dim V=5$ allora si ha che la dimensione dell'intersezione è uguale a 9 - dim U + V che però può essere al massimo 8 quindi in questo caso l'int. non è mai banale.
"JackPirri":
Forse posso fare così:
$U,V C R^8$ (per esempio)
Se $ dim U + dim V = dim R^8$
si ha che dim U inters.V è uguale a 8 - $dim U + V$ la dimensione di U + V è compresa tra 0 e 8 (estremi inclusi). Quando è uguale a 8 l'int.è banale, per valori inferiori ad 8 invece non è banale.
Ok ma è meglio se espliciti i sottospazi, in particolare devi trovare due sottospazi la cui somma delle dimensioni è $8$ ma l'intersezione ha dimensione maggiore di zero.
[url]
Se $dim U + dim V > dim R^8$ per esempio $dim U=4 dim V=5$ allora si ha che la dimensione dell'intersezione è uguale a 9 - dim U + V che però può essere al massimo 8 quindi in questo caso l'int. non è mai banale.
La dimostrazione la devi fare per $W$ generico spazio vettoriale, un possibile approccio è: se $dimV + dimU > dimW$ allora $dim(V+U) = dimV + dimU - dim(V nn U)$ ovvero $dim(V nn U) = dimV + dim(U) - dim(V+U)$ poiché $U + V$ è un sottospazio di $W$ allora si ha che $dim(U + V) <= dimW$ e quindi $dim(V nn U) = dimV + dimU - dim(V+U) >= dimV + dimU - dimW > 0$(l'ultima uguaglianza si ha per ipotesi).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo