Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio preso dagli appunti delle lezioni all'università.
Considerando quest'applicazione lineare $f: R^3->R^2$
$f(x,y,z)=(2x+y,y+2z)$
Ho calcolato ker e immagine.
La trasformazione non è iniettiva ma è suriettiva.
Mi si chiede dopo di calcolare la controimmagine del vettore (5,9) che probabilmente corrisponde ad un insieme di vettori visto che la trasformazione non è iniettiva.
Imposto un sistema : $2x+y=5 y+2z=9$ e mi esce che la controiimagine del ...
Ciao a tutti, vi chiedo una mano con questo esercizio.
Bisogna risolvere il sistema seguente con l'algoritmo di Gauss-Jordan
$ { ( -2x-4y-z=2 ),( x+2y+z=-2 ),( 3x+6y=0 ),( x+2y-z=2 ):} $
che noto subito essere un sistema di 4 equazioni in 3 incognite, quindi una sarà sicuramente da scartare in quanto il rango massimo di A (matrice dei coefficienti delle incognite) sarà al massimo 3.
Andando ad eseguire le mosse di Gauss sulla matrice completa, mi trovo che il sistema è compatibile, perchè il rango della matrice completa, e della ...
Mi aiutate a trovare il procedimento per questo quesito?
Il punto del piano parametrico $⟨(1, 0, −1, 1) , (2, 1, 0, −1)⟩$ di minima distanza da $(0, −1, −1, 1)$
Buongiorno ragazzi! TRa pochi giorni dovrò sostenere l'esame di geometri e vorrei un piccolo aiuto da voi.
Fondamentale per l'orale è sapere definire punti e coordinate di un punto tramite l'isomorfismo coordinato. Però in tutta sincerità non ho ben capito come impostare questa spiegazione. Mi potreste aiutare a capire come fare ?
Buongiorno,
Sia V uno spazio vettoriale su un campo \(\displaystyle K \). Si considerino due sottospazi vettoriale \(\displaystyle U_1 , U_2 \) di \(\displaystyle V \) entrambi di dimensione finita \(\displaystyle m \). Esiste un sottospazio \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle V \) tale che \(\displaystyle V=U_1\oplus W=U_2 \oplus W \).
Vi riporto il procedimento dell'esercizio su esposto come è riportato sul mio libro degli esercizi,
Soluzione :
Sia \(\displaystyle {u_1,...,u_l} \) ...
Buongiorno. Ho un problema con la ricerca delle basi. So che un base è un sistema di generatori linearmente indipendenti e quindi deve soddisfare questi 2 requisiti. Però mi sorge un dubbio su esercizi di questo genere:
U={(x,y,z)appartenenti a R3 t.c. x-2y+z=0}. Ecco. Non so come procedere per vedere se sono indipendenti. Ho difficoltà con questi tipo si esercizi, dove compaiono equazioni del genere. Come faccio? Un grazie in anticipo
Sia $X=⟨cost, sint⟩$ e $A:X→X$ definito da $A(u)=u′′−u′$, calcolare la base spettrale di $A$ di $X$
Trovo i due autovettori $(i,1)$ e $(-i,1)$ relativi agli autovalori $-i+1$ e $-1-1$.
Ma non riesco a trovare la base spettrale, cioè ho ragionato così:
$(i,1)=icost+sint$
$(-i,1)=-icost+sint$
Non vado oltre, potete darmi una mano sapendo che la soluzione è $e^(it)$ e $e^(-it)$ ?
Ciao a tutti, $R^2$ è uno spazio vettoriale che ha dimensione 2. È quindi un piano.Considerando la base canonica, corrisponderebbe al piano individuato dagli assi cartesiani.Ogni punto del piano lo posso ottenere come c.l. dei vettori della base canonica.Se considero un'altra base di $R^2$ ovviamente cambiano anche gli assi che mi individuano il piano(il piano è sempre lo stesso solo che magari sarà ruotato rispetto a prima) .Gli assi che lo individuano saranno sempre ...
Buongiorno,
ho un esercizio da proporre che mi sta dando un po' di problemi.
Il testo dice: sia X lo spazio topologico ottenuto dal piano proiettivo reale identificando due punti.
Calcolare il gruppo fondamentale di X e dire se X è omeomorfo ad una superficie topologica orientabile.
Non riesco ad immaginare cosa accade al piano proiettivo reale quando si identificano due punti.
Credo di aver problemi appunti con l'identificazione di punti, perché anche in un altro esercizio in cui viene ...
Ciao, sono molto insicuro sulla risposta che ho dato e spero mi possiate aiutare .
Riporto il testo:
Siano u,v,w vettori di $ R^n $ non nulli e $ <.,.> $ un prodotto scalare.
Considera le seguenti affermazioni:
1) se $ <u,v> = <u,w> $ allora $ v $ ortogonale a $ w $
2) se $ <u,v+w> = <u,v-w> $ allora $ u $ ortogonale a $ Span{v,w} $
3) se $ |u| + |v| = |u+v| $ allora $ u = t*v $
4) se $ (v+w) $ ortogonale ...
Salve, il testo di una domanda di un esame di geometria recitava: data una matrice 3x3 (incognita), con autovalori 1 (con molteplicità algebrica 2) e 0 (con molteplicità algebrica 1), dimostrare che la matrice fosse diagonalizzabile. Io ho letto che considerando il numero degli autovalori (molteplicità compresa) se è uguale all'ordine della matrice in considerazione, tale matrice è diagonalizzabile. Il fatto è che non sono sicuro se tutto ciò basta a rispondere, come faccio a motivare la mia ...
Buongiorno,
ho deciso di registrarmi perché sto preparando un esame di informatica applicata al mio campo di studi, in realtà il primo e base (sono una matricola) e studiando alcune funzionalità di mathematica mi trovo con un dubbio a cui non so ancora dare una risposta ma avrei bisogno di capire se ho inteso giusto e per conferma dovrei capire quel che vado a chiedervi.
Da matricola ho concetti fumosi e naif su funzioni di più variabili e superfici in spazi 3D. Ad ogni modo..
In pratica ...
Salve a tutti, provando a completare le prove precedenti dell'esame di geometria ed algebra lineare mi sono imbattuto in questo
Ho provato in tutti i modi a pensarci, ma non so da dove partire, qualcuno mi può dare una mano? (Tra l'altro è l'unica tipologia di esercizio che non capisco ...)
EDIT: Non so perché ma mi taglia l'immagine.
Vi linko direttamente l'hosting su imgur: https://imgur.com/a/Z40Vk
Ciao, supponiamo di avere due sottospazi di $R^3$ e di voler trovare il sottospazio somma.
$U,V$ sottospazi di $R^3$.
U ha dimensione 2.
V ha dimensione 1.
Volevo chiedervi: la dimensione del sottospazio somma sarà al massimo 3.
Allora la dimensione di U+V sarà minore o uguale a 3 e maggiore o uguale a 2 o a 1?
Secondo me a 2.Perchè una volta constatato che i tre vettori della base di U+V sono legati allora mi basta escludere la base di V.È giusto?Quindi ...
Salve popolo, vi propongo questo mio dubbio. Mi sto trovando a risolvere il seguente esercizio:
Trova i punti di intersezione tra le rette di equazione cartesiana:
\(\begin{cases} x - y - z - 1 = 0\\ x - 3y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x + y - z - 3 = 0\\ x + 2y + z = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 2y - z - 4 = 0\\ x + 7y + z - 5 = 0 \end{cases}\)
Ho pensato, visto che di risolvere sistemi di 4 equazioni in tre incognite non mi andava proprio, di ottenere la loro ...
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio, ci viene suggerita l'induzione come metodo di dimostrazione ma provando mi trovo davanti a calcoli che mi fan dubitare di essere sulla strada giusta.
L'esercizio è il seguente:
Il determinante $ Delta _3 =| ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( x , h , -1 , 0 ),( x^2 , hx , h , -1 ),( x^3 , hx^2 , hx , h ) | $ e il determinante generico $ Delta _n $ si determinano analogamente. Si dimostri per induzione che $ Delta _n=(x+h)^n $
Nello spazio vettoriale $R^4$ è dato il seguente endomorfismo:
$f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (−2x_1 + 2x_2 + x_4, −x_1 + x_2 − x_3 + x_4, 0, 2x_3 − x_4)$.
Determinare$ f^-1(1, 0, 0, 1)$
Ho trovato la matrice associata e mi è venuta:
$((-2,2,0,1),(-1,1,-1,1),(0,0,0,0),(0,0,2,-1))$
Per svolgere l esercizio non so proprio da dove partire. Per intuito credo che si debba risolvere il sistema formato dalla matrice e dal vettore proposto nell'esercizio. giusto??? ma poi???
Aiutatemi è esercizio d'esame!!!!
Buongiorno,
la mia prof.ssa di geometria mi ha dato un teorema che dice che:
Data una matrice quadrata nxn A, A è invertibile se e solo se rank(A) = n.
Il mio problema è che non riesco a capire la dimostrazione da sinistra verso destra, cioè che se A è invertibile allora la sua caratteristica è n.
Considerando per assurdo che rank(A) < n, allora A avrà una riga di zeri nella sua riduzione totale (B):
\( (E1...Er)A = B \)
Moltiplico per l'inversa di A i due membri:
\( (E1...Er)AA^{-1} = B ...
Salve a tutti.
Ho un problema con la dimostrazione di un teorema, o meglio non capisco il perché sia così:
In uno spazio metrico reale il complemento ortogonale di un sottoinsieme A di V è complemento diretto della sua copertura lineare.
L'unica cosa che mi è chiara è che per essere complemento diretto l'intersezione tra la copertura lineare di A e il suo complemento ortogonale deve essere vuota.
Grazie
Dati una M(f), definita usando basi canoniche per dominio e codominio, e un sottospazio V definito tramite equazione cartesiana/una base/elemento generico, voglio calcolare $ f^-1 V $ .
Nel mio eserciziario il procedimento consiste nei seguenti passaggi:
scrivere V tramite equazione cartesiana se non lo è già;
scrivere il vettore generico dell'immagine di M(f);
imporre su tale vettore il passaggio per V.
Semplice. Però io avevo pensato a un'altra via, che ho testato e che si è rivelata ...
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