Equazione sfera con centro sulla retta r tangente a un piano, passante per un punto e di raggio minore
ciao a tutti
non riesco a risolvere questo eserizio
mi da il piano $ alpha : x+ 2=0 $
la retta $ r:x+z+1=0=y-1 $
e il punto $ P=(4,1,-2) $
mi chiede di calcolare l'equazione della sfera con centro sulla retta $ r $ , tangente a $ alpha $ , passante per $ P $ e di raggio minore.
grazie mille a tutti
Giacomo
non riesco a risolvere questo eserizio
mi da il piano $ alpha : x+ 2=0 $
la retta $ r:x+z+1=0=y-1 $
e il punto $ P=(4,1,-2) $
mi chiede di calcolare l'equazione della sfera con centro sulla retta $ r $ , tangente a $ alpha $ , passante per $ P $ e di raggio minore.
grazie mille a tutti
Giacomo
Risposte
Il centro C della sfera lo puoi indicare con $C(t,1,-t-1)$ mentre il raggio r è la distanza tra C e P:
$r=CP=sqrt{(4-t)^2+(1-1)^2+(t-1)^2}=\sqrt{2t^2-10t+17}$
Ma il raggio è anche la distanza tra C ed il piano $\alpha$ e quindi si ha pure:
$r=|t+2|$
Eguagliando le due espressioni di $r$ si ottieni l'equazione :
$|t+2|=\sqrt{2t^2-10t+17}$
Risolvendo questa facile equazioni hai due soluzioni di t che devi sostituire nelle formule di C e di r.
In base al testo devi scegliere quella corrispondente al raggio minore e poi avendo centro e raggio
calcoli agevolmente l'equazione della sfera che risolve il quesito.
$r=CP=sqrt{(4-t)^2+(1-1)^2+(t-1)^2}=\sqrt{2t^2-10t+17}$
Ma il raggio è anche la distanza tra C ed il piano $\alpha$ e quindi si ha pure:
$r=|t+2|$
Eguagliando le due espressioni di $r$ si ottieni l'equazione :
$|t+2|=\sqrt{2t^2-10t+17}$
Risolvendo questa facile equazioni hai due soluzioni di t che devi sostituire nelle formule di C e di r.
In base al testo devi scegliere quella corrispondente al raggio minore e poi avendo centro e raggio
calcoli agevolmente l'equazione della sfera che risolve il quesito.
grazie mille gentilissimo
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