Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi, perdonate la banalità di questo thread ma mi sono imbattuto in una definizione di insieme convesso che mi ha un attimo spiazzato:
- Un insieme finito di punti $S sub R^2$ è detto convesso se tutti i punti di $S$ giaciono sul confine della copertura convessa di $S$.
Questo vuol dire che ad esempio l'insieme dei soli vertici di un triangolo rappresentano un insieme convesso? Non sto contraddicendo le definizioni più comuni di insieme convesso? ...
Determinare l'equazione cartesiana della superficie sferica ∑ tangente al piano a : $ x-y+2z+1=0 $ in C (0,1,0) e avente il centro giacente sul piano ß : $ x+2y-z+1=0 $
Ho provato a ragionare così:
Per trovare l'equazione della sfera servono le coordinate cartesiane del centro e la misura del raggio.
Per calcolare il centro devo passare alla forma parametrica ed individuare le coordinate del centro della sfera in funzione del parametro (una volta fatto, poi non saprei
come andare ...
Ho questa base $B={(1,1,0),(-1/2,1/2,1),(1,-1,1)}$
e ho l endomorfismo $f(x1,x2,x3)= (2x1+x3, 2x2-x3, x1-x2+x3)$
ora per determinare la matrice associata come si procede???
Provo a mettere un mio tentativo
$((2,0,1),(0,1,1),(1,-1/2,1))$
E' giusta???? chi mi può aiutare
Ciao a tutti,
mi sto preparando per l'esame di Geometria e Algebra e non riesco a risolvere questo esercizio, sebbene sia in grado di risolvere l'esercizio contrario..
1)Voglio trovare una retta passante per D(0,0,1) e contenuta nel piano di equazione : 3x-2y+z-1=0
2)Una volta trovata se volessi fare una prova posso verificare che il prodotto scalare tra coefficienti direttori della retta e del piano sia nullo?
3) ultimo dubbio che non riguarda questo esercizio..nel caso in cui volessi ...
Ho una matrice
A = $((0,-2,1),(8,0,4),(0,0,-1))$
Ho calcolato gli autovalori:
λ = -1
u1 = -4j
u2 = 4j
Ora però mi trovo in difficoltà a calcolare i suoi autovettori
Ho provato a fare (A-αI)u = 0 --> $\{((A - αI)ua = -ωub), ((A - αI)ub = ωua) :}$ Con α in questo caso credo = 0 ??
Quindi mi viene fuori un sistema enorme, che ho provato a risolvere con trovando i pivot ecc.. Ma non credo si risolva così. Potete aiutarmi?
Dopo aver ascoltato la registrazione della lezione del mio prof e andando a rileggere sul libro ho trovato delle incongruenze che magari sono banali.
Il mio prof ha detto che se la dimensione di uno SPAZIO affine è 1 si parla di rette mentre se la dimensione è 2 si parla di piani.
Sul libro invece mi dicono che se la dimensione del SOTTTOSPAZIO affine è 1 si parla di rette se è 2 si parla di piani .
Quale è corretta ????
grazie
Date le 2 rette sghembe devo calcolare la minima distanza: sono corretti i passaggi? Grazie
$r:\{(x-y=0),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y+z=1):}$
1. Riscrivo in forma parametrica entrambe le rette.
$r:\{(x=h),(y=h),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1-k),(z=k):}$
2. Utilizzo la condizione di ortogonalità.
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(1,1,0)=0$
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(0,-1,1)=0$
La retta:
$t:\{(1-h+1-k-h=0),(-1+k+h+k-1):}$
ha soluzioni : $k=h=2/3$
3. Sostituisco nella forma parametrica.
$r:\{(x=2/3),(y=2/3),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1/3),(z=2/3):}$
La retta di minima distanza è ...
Vi propongo lo svolgimento di questo esercizio e poi vi dico il mio dubbio:
Sia $ f: RR^4 rarr RR^3$ definita da $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2, 2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)$.
Sia $w inIm(f)$, allora $w=(a_1,a_2,a_3)$.
A questo punto io ho creato il sistema lineare associato:
$\{(x_1-x_2=a_1),(2x_1-x_2+x_4=a_2),(-x_1+x_2+x_4=a_3):}$
da cui ho ricavato che $a_2=a_1+x_1+x_4$ e $a_3=-a_1+x_4$ per cui detti $x_1=b_1 e x_4=b_2, w={(a_1,a_1+b_1+b_2,-a_1+b_2) : a_1,b_1,b_2 in RR}$
ora la mia domanda è come determino l'immagine di $f$ ???
Il libro mi da come soluzione $<(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)>$ Per ottenre questi ...
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano ortonormale (positivio) R(O,x,y,z), siano assegnati i punti A(2,2,3) , B(1, -1, -1), C(0,1,0) e la retta r: $ {2x−z+1=0;y−z−4=0} $ :
Scrivere le equazioni dei piani contenenti la retta r e aventi distanza $ 2*2^(1/2) $ da B.
Per trovare l'equazione del piano che contiene la retta e un punto scrivo la retta in equazione parametrica, calcolo i parametri direttori della retta, calcolo la direzione in un punto generico della retta r e trovo la ...
Salve, mi è venuto un piccolo dubbio che non ha trovato riscontro su internet...solo voi mi potete aiutare.
ho questa matrice:
A=$((0,2,1),(0,0,0),(1,2,0))$ per calcolare i rango posso trovare il minore tramite questa matrice $((2,1),(1,2))$ che ha rango uguale a 2??
Scusate la domanda che forse può sembrare banale.
Ma il teorema sulle moltiplicità esprime questo:
Se $M_g(lambda)=M_a(lambda)$ allora $lambda$ è regolare??
Salve, ho un dubbio sulla dimensione degli spazi vettoriale.La dimensione di uno spazio vettoriale oltrea dirmi quanti vettori formano le sue infinite basi, mi dice anche quanti vettori liberi tra loro posso trovare nello spazio?
Ovviamente tutto ciò vale anche per i sottospazi.Considerando il sottospazio formato dal solo vettore nullo, diciamo che ha dimensione 0 perchè il vettore nullo non ammette basi.Vorrei capire perchè non ammette basi...una spiegazione plausibile potrebbe riguardare il ...
Scusate se posto due domande vicine cronologicamente parlando. Però so che è meglio aprire due post piuttosto che scrivere due argomenti diversi in un unico.
Mi duole tediarvi, ma mi piacerebbe capire a fondo questo teorema.
Mi è stato presentato a lezione in due forme, che trovo anche espresse su Wikipedia: "Il teorema afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la ...
Buongiorno, sono alle prese con un'altra dimostrazione in preparazione del primo parziale di Geometria e, nonostante sia riuscito - probabilmente - in dimostrazioni più complesse, non mi è chiaro come si debba lavorare su quelle di questo tipo:
Sia \(V\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(n\) su $bbbK$.
$1.$ Se ${$\(v_1, v_2, ..., v_n \)$}$ è una base di $V$, denotiamo \(v_0 = v_1+v_2+...+v_n\). Siano \(\lambda_0, ...
Ciao a tutti, ho calcolato l'intersezione tra due sottospazi, uno avente dimensione 1 e uno con dimensione 2 (rappresentano rispettivamente una retta passante per l'origine e un piano che passa per l'origine).
La loro intersezione risulta essere banale, dunque hanno in comune il solo vettore nullo che, correggetemi se sbaglio, siccome ha dimensione 0 allora è un punto.Dato che è il vettore nullo allora sarà l'origine (0,0,0,0 dato che mi trovo in $R^4$).
Dato che l'intersezione tra ...
Un mio amico mi ha posto una domanda interessante a cui non avevo mi pensato: perché la definizione degli spazi metrici si da su $RR$? Non si potrebbe, per esempio, definire su $QQ$? Nel senso che al posto di $RR^+$ ci si potrebbe mettere $QQ^+$, le definizioni continuerebbero ad avere senso, mi pare.
C'è qualcosa che fa sì che non sia una buona idea? Io ho pensato che magari c'entrava qualcosa la completezza, ma non mi è venuto in mente nessun ...
Buonasera a tutti, dopo aver dimostrato che è un sottospazio vettoriale devo calcolare una base e quindo la dimensione di U.
$U={v = (x,y,z,t) € R^4 |x+y-3z=0, 2z-t=-3y, y=-t+x}$
Ho svolto due sistemi con le equazione che definiscono il sottospazio.Uno con le equazioni così come vengono date e uno con le equazioni in forma implicita.Mi esce che U ha dimensione 1 in entrambi i casi ma i vettori della base che mi sono trovato nei due sistemi sono diversi.È normale oppure ho sbagliato qualcosa?
Essendo U un sottospazio di ...
A livello teorico so come si calcolano ma non so se durante i calcoli faccio bene.
A=$((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$
eseguo la molteplicità algebrica:
det$((1-lambda,1,0),(0,1-lambda,0),(0,0,-lambda))$
quindi Ma= $- lambda(1-lambda)^2$
a questo punto mi blocco la molteplicità algebrica sarebbe???
$lambda_0=0$ e $lambda_1=1$????
poi per la molteplicità geometrica calcolo:
rango di A =2
poi successivamente $[rankA-(0)I]$ e poi $[rankA-(1)I]$ giusto???
e quindi la molteplicità geometrica mi verrà $[ 2-rankA-(0)I]$ e ...
Mi servirebbe il vostro lodevole aiuto perché mi sono fermato su un punto di una dimostrazione.
Si voleva in sostanza dimostrare che: "L’applicazione lineare $f : V -> W$ tra due spazi vettoriali V e W è
iniettiva se e solo se l’immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W"
Ho capito come dimostrare la prima implicazione, l'ho svolta giusta e anche letta dal libro svolta è praticamente identica. Ma il "ritorno" mi blocco e il libro non è per nulla chiarificatore..
In ...
Allora premetto che ho già cercato su internet la dimostrazione di questo teorema e aggiungo che l'ho si trovato ma solamente con la dimostrazione per induzione.
Il mio prof. l'ha dimostrato per assurdo e credo che lo vorrà essere dimostrato cosi anche per l'esame orale.
Quindi ho un necessario bisogna del vostro aiuto.
Ora provo a dimostrarlo io e desidero che qualcuno mi dica se è corretto e se nel caso non lo fosse gradirei una correzione.
Siano $lambda$1 ...
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