Prodotti scalari
A perdita di tempo stavo pensando ad una cosa.
Dati $V,W$ due $RR$ spazi vettoriali della stessa dimensione allora $VtimesW$ è uno spazio vettoriale.
Ovviamente è possibile dotare $VtimesW$ di un prodotto scalare, ma stavo pensando: è possibile fare un prodotto scalare tra vettori di diversi spazi, ma isomorfi?
Ragionando, data $b:VtimesW->RR$ forma bilineare una proprietà importante per i prodotti scalari è che la forma bilineare sia simmetrica, ma sorge un problema: bisogna dare un senso a $b(v,w)=b(w,v)$ visto che se $(v,w)inVtimesW$ allora in generale $(w,v)$ non è detto che gli appartenga.
Quindi esiste un’applicazione $q:WtimesV->RR$ per cui $q(w,v)=b(v,w),forallv inVforallw inW$?
Chiaramente se essa esiste, è unica.
Quindi qual è la miglior posizione da assumere? Ammesso che abbia senso.
Dati $V,W$ due $RR$ spazi vettoriali della stessa dimensione allora $VtimesW$ è uno spazio vettoriale.
Ovviamente è possibile dotare $VtimesW$ di un prodotto scalare, ma stavo pensando: è possibile fare un prodotto scalare tra vettori di diversi spazi, ma isomorfi?
Ragionando, data $b:VtimesW->RR$ forma bilineare una proprietà importante per i prodotti scalari è che la forma bilineare sia simmetrica, ma sorge un problema: bisogna dare un senso a $b(v,w)=b(w,v)$ visto che se $(v,w)inVtimesW$ allora in generale $(w,v)$ non è detto che gli appartenga.
Quindi esiste un’applicazione $q:WtimesV->RR$ per cui $q(w,v)=b(v,w),forallv inVforallw inW$?
Chiaramente se essa esiste, è unica.
Quindi qual è la miglior posizione da assumere? Ammesso che abbia senso.
Risposte
Sì, non c'è alcun problema a patto di stare attenti a un paio di dettagli. $V\times W\cong W\times V$, quindi \(\text{Bil}(V\times W, k)\cong \text{Bil}(W\times V,k)\). A questo punto c'è un'unica \(\tilde q : W\times V\to k\) corrispondente a $q : V\times W\to k$ mediante questo isomorfismo.
Diciamo che il dubbio mi è sorto quando volevo dimostrare che le applicazioni lineari tra due spazi normati, della stessa dimensione, sono sempre Lipschitziante e che una costante di Lipschitzianitá è proprio la norma della matrice rappresentativa.
Perché avevo dimostrato che un funzionale lineare era sempre continuo.
Penso che dare un senso a un prodotto scalare tra vettori appartenenti a spazi di diversa dimensione non abbia senso, no?
Non so se la simmetria perda di significato.
Perché avevo dimostrato che un funzionale lineare era sempre continuo.
Penso che dare un senso a un prodotto scalare tra vettori appartenenti a spazi di diversa dimensione non abbia senso, no?
Non so se la simmetria perda di significato.
"anto_zoolander":
Diciamo che il dubbio mi è sorto quando volevo dimostrare che le applicazioni lineari tra due spazi normati, della stessa dimensione, sono sempre Lipschitziante e che una costante di Lipschitzianitá è proprio la norma della matrice rappresentativa.
Perché avevo dimostrato che un funzionale lineare era sempre continuo.
Penso che dare un senso a un prodotto scalare tra vettori appartenenti a spazi di diversa dimensione non abbia senso, no?
Non so se la simmetria perda di significato.
Puoi parlare di applicazioni bilineari definite su qualsiasi coppia di spazi, sono semplicemente le applicazioni lineari definite sul prodotto tensoriale di quei due spazi. I prodotti scalari solitamente vengono definiti solo su spazi che coincidono, ma il problema non è né la simmetria né la non degenerazione, che puoi ancora enunciare. Il problema è che perdi l'intuizione di un prodotto scalare come metodo per identificare lo spazio dove è definito con il suo duale.
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