Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Mi piacerebbe approfondire un poco, anche per conto mio, questa materia (algebra lineare) che mi ha affascinato così tanto nello studio universitario. Materia che per me era sconosciuta fino poco tempo fa.
Il mio libro purtroppo secondo il mio parere, seppur modesto e poco conscio, è un po' superficiale. Leggevo su questo forum diversi libri e sarei indeciso tra due:
1)Candilera, Bertapelle
2)Marco Abate
Secondo la vostra esperienza quale è più approfondito dei due per poter aggiungere un ...
Buonasera,
vorrei potervi porre un'ultima domanda su un aspetto che non mi è chiarissimo riguardo quello che sto studiando.
Prendiamo una forma quadratica indefinita, trovo la matrice associta a questa forma q. e vorrei capire alcune cose tramite lo studio dei realtivi autovalori associati alla matrice.
1) Esistono forme quadratiche che hanno vettori isotropi ma che hanno autovalori tutti diversi da zero?
2) Studiando il polinomio caratteristico e trovando gli autovalori della matrice ...
Sia $A:RR^2 →RR^2$ verificante $A((1),(2))=((3),(0))$ e $A((2),(1))=((1),(2))$
Quale matrice la rappresenta rispetto alla base canonica?
come si trova?
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se è solo se lo è l'insieme delle coordinate rispetto ad una base. Non riesco a dimostrare questo concetto che intuitivamente, considerando i polinomi ad esempio, sembra palese.
Ho provato a partire dal fatto che le coordinate rispetto a una base di due vettori è la somma ordinata delle coordinate dei singoli vettori e che le coordinate di un vettore per unità scalare sono le coordinate del vettore per lo scalare, ma non riesco a concludere.
C'è una parte di teoria che mi rimane poco chiara proprio perché sia la professoressa che il libro non la trattano in maniera molto approfondita.
Sono alla ricerca della dimostrazione o qualcosa che mi riesca a spiegare il legame tra forme definite, semidefinite e indefinite e gli autovalori.
MI è chiara la parte dove si dice che:
La forma quadratica è:
-Definita positiva se Q(x) è maggiore uguale a zero con il caso Q(x)=0 se e solo se x=0
- Semidefinita positiva se Q(x) è maggiore uguale a ...
Salve a tutti, sono alle prese con un esercizio del Manetti :
L'esercizio chiede di dimostrare che un applicazione tra due spazi compatti e T2 è continua se e solo se il grafico è chiuso nel prodotto.
Considero la funzione da X in Y
Siano X Y gli spazi topologici per la prima freccia (f continua implica grafico chiuso) avevo pensato di dimostrare che il grafico è compatto e quindi mostrare che un compatto in uno spazio T2 è chiuso (infatti il prodotto di due T2 è T2).
Il problema sorge ...
Si consideri l'applicazione lineare F: R2 --> R2 f(e1)= -9e1 + 5e2; f(e2)= Ke1 - 9e2
a) Si determini per quali valori di K è diagonalizzabile
b) Scelto un valore di K per cui è diagonalizzabile si trovi una base B in cui la matrice associata ad F sia diagonale. Tale base è unica?
Il primo punto mi viene la matrice
A= -9 K
5 -9
Usando il polinomio caratteristico ho calcolato il determinante e mi viene ( x^2 + 18x + 81 -5k ), quindi con k diverso da 0 la matrice è diagonalizzabile, ...
Ciao a tutti,
ho questo esercizio da sottoporvi:
Sia $Mat(2)$ lo spazio vettoriale delle matrici reali qadrate $2x2$ e si considerino i seguenti sottospazi di $Mat(2)$:
$ U={( ( a , b ),( c , d ) ) |a=b=d} $ , $ V_h= <( ( h , 2 ),( 0 , 2-h ) ),( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) > $
con $h$ parametro reale.
1) Determinare i valori di $h$ per cui si ha $U+V_h=Mat (2)$.
2) Nel caso $h=1$ determinare una base di $ U nn V_1 $ .
il mio svolgimento è questo:
1) Passo dalla base ...
Ciao ragazzi, qualcuno mi aiuta con questo esercizio?
Sia $(V,<,>)$ uno spazio vettoriale euclideo reale e sia $B={b_1, b_2, b_3}$ una base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$.
1) Determinare una base ortonormale di $S^_|_ $
2) Sia $F:V rarr V$ un endomorfismo simmetrico tale che sia $ Ker (F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita ...
In una parte di un esercizio mi si chiede per quali valori di a lamatrice B rappresenti un isomorfismo
$B=((0,1,a-1),(1-a,-1,0),(2-a,2a,0))$
Ho pensato che per essere un isomorfismo devo avere un omomorfismo biiettivo, quindi si passa per l'invertibilità dell'applicazione.E per essere invertibile deve avere determinante massimo.
Però questa è una mia idea e ragionamento, vorrei capire per quale motivo solido nello studio della teoria una applicazione lineare è isomorfismo se e solo se è una matrice invertibile. ...
Ciao a tutti,
ho un problema con un esercizio sulla proiezione di un vettore prima su una retta e poi su un piano. La traccia è:
Nello spazio euclideo $R^3$ si consideri il vettore $v = i + j − 2k$. Si determinino:
(1) il vettore proiezione di $v$ sulla retta $r$ : \begin{equation}
\begin{cases}
x − 2y + z = 0\\2x + y + z − 2 = 0
\end{cases}
\end{equation}
(2) il vettore proiezione di $v$ sul piano $π : 3x − 2y + z + 1 = 0$ .
Per quanto ...
Buongiorno, vi propongo questo esercizio di algebra lineare :
Sia A lo spazio delle soluzioni di -x-2y=0 e B lo spazio delle soluzioni del sistema $ { ( x+y-z=0 ),( 2x+3y-z=0 ):} $ Determinare senza usare la relazione di Grassman :
a)Dimensione e base di A
b) Dimensione e base di B
c) Dimensione e base di $ AnnB $
d) Dimensione e base di A+B
I punti a,b sono rapidi e a meno di errori ho trovato :
A =(-2y ; y ; z) da cui Base di A ={(-2 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ; 1)} e Dim(A)=2
B= ( -2y ; y ; -y) da cui ...
Buonasera e buone feste
Si determini una base dello spazio somma dei seguenti sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \)
\(\displaystyle U= \)
\(\displaystyle V= \)
Procedo nel seguente modo:
1) Verifico se i due sistemi sono linearmente indipendenti, con semplici calcoli si verifica che sono linearmente indipendenti. Quindi i vettori che compongono rispettivamente i sottospazi \(\displaystyle U,V \) sono delle basi.
2 ) Unisco le due basi ...
Buonasera ragazzi,
Ho un dubbio sulla soluzione di questo esercizio,
sia data l-applicazione lineare f. r3->r3 associata alla matrice
A= 1 0 2 nella base canonica.
0 1 0
0 2 -1
Si determini la matrice B associata ad F se fissiamo la base (e1, e1+e2, e3) nel codominio.
Qualcuno riesce ad aiutarmi, spiegando un po- i vari passaggi? Grazie.
Sergio
Ciao a tutti,
devo determinare autovalori, rappresentazione degli autovettori e le trasformazioni che mettono nella forma canonica di Jordan la seguente matrice.
1 0 0
3 0 −1
−3 1 2)
Per quanto riguarda gli autovettori, ne ha solo uno A = 1, la molteplicità algebrica è uguale a 3 e quella geometrica è uguale a 2.
Nella soluzione dell'esercizio mi specifica che J, matrice di Jordan, J = TAT^(-1). Ma non riesco a calcolarmi le due trasformazioni.
La matrice di Jordan finale ...
Buonasera.
Volevo delle delucidazioni riguardo il metodo per trovare le soluzioni di un sistema quando esso è compatibile.
So che ci sono due casi, un primo quando il rango è uguale al numero di incognite, e bisogna usare appunto l'algoritmo di gauss-jordan, e vorrei sapere come si fa. il secondo caso quando invece il rango è minore del numero di incognite del sistema e bisogna ridurre la matrici a gradini e portare fuori, nella colonna dei termini noti, tutti gli elementi che sono fuori dai ...
Salve a tutti, vi propongo il dubbio che mi tormenta da un bel po' di tempo. Dovete sapere che sto preparando l'esame di Geometria e algebra lineare, e utilizzando l'eserciziario del professore mi sono imbattuto in "metodi contrastanti" forniti come soluzione a due problemi riguardo a quanto espresso nel titolo. Riporto quanto mi tormenta.
Esercizio 6.48: Sia \(f: \displaystyle \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 \) definita da:
\( f(x,y,z) = (2x - y +z, x + 3y -2z, 1 + ky + 3z, -3x + (1-k)y + kz) ...
Data l’applicazione da $RR^3$ in $RR^2$ definita da $((2,1,0),(1,1,1))$ mi aiutate a capire se è suriettiva/iniettiva?
ho posto il sistema uguale a zero per capire quale fosse il Ker e mi viene un valore diverso da zero quindi posso confermare che non è iniettiva, ma per la suriettività?
Buonasera. Ho un'enorme difficoltà nel comprendere la definizione di sistema di generatori e di base. Un sistema è un sistema di generatori quando la sua chiusura lineare coincide con lo spazio. Cioè se sono in R4 e ho quattro vettori? Un sistema può essere non indipendente giusto? e poi un sistema deve coprire tutto lo spazio per forza? Esempio sto in R3 il sistema di generatori deve avere tre vettori o anche più o di meno?
Un sistema di generatori è una base se è indipendente.
Una base deve ...
CIao ragazzi,
ho bisogno di voi per un problema su cui sbatto la testa da circa 1 ora e mezza senza risultati.
L'esercizio è questo, una applicazione lineare:
$f:R^4->S^(2,2)$ con $S^(2,2)$ matrici simmetriche
Ho trovato la matrice associata rispetto alle basi canoniche
$A=((1,-3,2,5), (0,18,0,-27), (0,6,0,-9))$
Devo determinare base e dimensione di $f^-1(H)$ con $H=Span((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))$
Dato che $((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))$ sono base ho pensato di trovare le controimmagini di qeusti due vettori e trovare così per ...
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