Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi, stavo facendo un esercizio e ho bisogno di un consiglio.
Mi viene richiesto di individuare due equazioni distinte di un piano contenente l'origine e la retta passante per i punti $A=(1,0,-1)$ e $B=(2,2,-1)$ , ho usato il fascio di piani per la retta e considerato il punto $(0,0,0)$ ricavando il piano $2x-y+2z=0$ ora come posso ricavarmi l'altra equazione cartesiana?
Ho fatto vari ragionamenti ma mi esce sempre la stessa perchè giustamente i punti non sono ...
Salve, ho il seguente esercizio:
'sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 e sia $W={Polinomi| P'(0)=0}$ trovare una base per W e una per V/W'
Purtroppo con i polinomi ho parecchi problemi e non so come trovare le basi.
So che gli elementi di W sono della forma $ax^2+b$ e ora??
Allora ho due rette parallele e chiede la distanza tra queste due rette
r:
x+y=1
z=1
s:
x+y=2
z=1
Ho trasformato queste equazioni in parametriche
r:
x=1-t
y=t
z=1
s:
x=2-t
y=0
z=1
Ho trovato un punto di r: P (1;0;0)
Ora trovo il piano ortogonale ad s
-1(x-1)+1(y-0)+0(z-0)=0
E risulta x-y-1=0
Fino a qui il procedimento è giusto?
Poi ho sostituito nell equazione del piano x, y,z presi dall’equazione parametrica di s:
2-t-t-1=0
E trovo t
t=1/2
Sostituisco 1/2 nell’equazione parametrica di s ...
Ciao ragazzi, non so proprio come impostare questo genere di esercizi, datemi una mano vi prego.
Sia data L'applicazione lineare f:$RR^$ $\to$ $RR^3$ definita da:
f$((x),(y),(z))$= $((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))$ $((x),(y),(z))$
calcolare la matrice che rappresenta f rispetto alla base [v1=$((1),(0),(3))$ , v2=$((1),(0),(0))$ , v3=$((0),(-1),(0))$ ] del dominio e alla base canonica del codominio.
Ciao a tutti!
Ho affrontato lo studio della posizione relativa di due rette al variare di un parametro Reale, ma non disponendo delle soluzioni, vorrei assicurarmi di aver seguito un procedimento risolutivo corretto. Vi pongo pertanto il problema:
Date le equazioni in forma cartesiana delle rette di R^3:
r:= {x +y -2z = 1 e s:={hx +y -2z = 1
{2x +y +z = 1 {x +3z = 1
Discuterne la posizione relativa al variare di h appartenente a R.
Procedimento utilizzato ...
Ciao a tutti,
mi servirebbe che qualcuno mi correggesse i conti di questo esercizio.
Al variare del parametro reale $k$, discutere l'esistenza e l'unicità di applicazioni $F_k$ da $RR^3$ in sé tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
$F_k((k+1),(-2),(-3))=((2),(3),(0));F_k=((0),(1),(k^2-1))=((0),(1),(2K));F_k((1),(0),(0))=((k+1),(-2),(3))$
a) Dire se esistono valori di $k$ per cui $F_k$ esiste e non è iniettiva. In tali casi, calcolare la dimensione di $Im(F_k)$.
Prima di tutto calcolo il rango ...
Buongiorno,
Ho il seguente esercizio dove mi chiede di determinare la dimensione e una base ortonormale di un sottospazio.
Sia $ W=[v_1,v_2,v_3,v_4] $
dove $ {v_1=(3,0,4),v_2=(1,2,0),v_3=(2,-2,4),v_4=(4,2,4)}$
intendo con $[......]$ sottospazio generato.
Procedo nel seguente modo "non riporto i calcoli" vorrei capire dove sbaglio:
1. dispondo vettori sudetti per riga in una matrice $A$, la riduco a scala, per poi individuare i vettori lineramente indipendenti, cioè considero le righe della matrice non ridotta ...
Ciao a tutti, ho ripreso ieri le matrici PA=LU dopo un anno e non ricordo perfettamente tutto quanto. L'esercizio mi chiede di calcolare il determinante di A e risolvere un sistema ax=b che ho già risolto e non posterò perché ininfluente. Il mio unico dubbio riguarda il determinante che mi so calcolare ma non ricordo se ci sono diverse regole con aggiunte di segni. Mi sono calcolato U, L e P ma sinceramente non capisco come faccia a essere positivo il determinante. Altra cosa, mi ricordo solo ...
Salve, sono nuovo del forum, mi trovo in difficoltà con questo esercizio:
Data l'applicazione lineare F: $RR$^3 $\to$ $RR$^3 definita da:
f$((x),(y),(z)$)=$((1,0,0),(0,0,1),(1,0,0))$ $((x),(y),(z))$
determinare il vettore f$((0),(0),(0))$ e dire se esiste un vettore tale che f(w)=$((1),(0),(1))$.
Allora, per risolvere il primo punto dell'esercizio io ho fatto il prodotto riga colonna e mi da come risultato un altro vettore nullo, ma non so proprio ...
Buon giorno a tutti,
vi chiedo aiuto al volo su un quesito a scelta multipla :
"E’ dato un endomorfismo f di $\R^3$ tale che
$\f(pi,3,8) = f(2,1,pi)$
Si indichi l’affermazione corretta.
(a) l’immagine di f ha dimensione 3;
(b) f e suriettivo; `
(c) f ha un autovalore nullo;
(d) il nucleo di f ha dimensione 0
"
Ora, ragionando per esclusione (che però non è il mio obbiettivo) la prima e la seconda sono equivalenti e quindi egualmente false, l'ultima è falsa dal teorema delle dimensioni ...
al variare del parametro k appartenente ai reali si consideri la matrice
$ A_k( ( 1 , 0 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , k^2-1 , -2 ) ) $
A) esistono almeno due valori distinti di k per cui$ A_k $ non ha rango massimo
B)esiste uno ed un solo valore di k per cui$ A_k $ ha rango 2
C)A_K ha rango massimo per ogni k
D)per k=0 la matrice$ A_k$ definisce un'applicazione lineare invertibile
E)per k=0 la matrice$ A_k$ ha rango 3
come faccio a risolvere questo esercizio?
Grazie!
Buon pomeriggio a tutti un esercizio mi chiede di costruire un'applicazione lineare che manda il rettangolo ABCD di vertici $A=(0,0), B=(2,0), C=(2, 1), D=(0,1)$ in un rettangolo contenuto all'interno della circonferenza di raggio 1 e centro A.
l'obiettivo finale dovrebbe essere quello di avere 4 immagini linearmente indipendenti no? ma non saprei come approcciare il problema.
Avevo pensato di trovare la proiezione del vettore (1, 1) su x e del vettore (-1, 1) su x in modo da avere la base del rettangolo ma non ...
sia$ pi$ il piano passante per i punti (3,1,0),(2,1,1),(1,0,1), e sia r la retta ortogonale a pi e passante per l'origine. allora:
A)la retta r ha direzione generata da (1,-1,1)
B)l'equazione del piano pi è 6x+2y+2z-20=0
C)pi passa per l'origine
D)la retta r ha direzione generata da (1,0,-1)
E)la retta r passa per il punto (2,1,1)
prima di tutto devo trovare l'equazione del piano passante per i tre punti:
considero:
$ | ( x-x1 , y-y1 , z-z1 ),( x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 ),( x3-x1 , y3-y1 , z3-z1 ) | $
calcolando il tutto ottengo che l'equazione ...
Ciao a tutti, mi serve aiuto per questo esercizio.
Sia $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $e_1+e_3$, $e_2-e_4$, dove $e_i$ è la base canonica in $RR^4$. Sia $g:U rarr U$ l'applicazione lineare definita da $g(e_1+e_3)=e_1+e_2+e_3-e_4$ e $g(e_2-e_4)=2e_1+2e_2+2e_3-2e_4$.
a) Scrivere la matrice rappresentativa di $g$ rispetto la base $e_1+e_3$, $e_2-e_4$.
b) Al variare del parametro $k$, ...
in$ R^3$ con il prodotto scalare standard, al variare del parametro K appartenenti ai reali, si considerino i vettori
$ u_k=(k,1,0) $ $ v_k=(2,k^2,1)$
A) esistono esattamente due valori di k per cui$ u_k $ e $ v_k$ sono perpendicolari
B) esiste uno ed un solo valore di k per cui $ u_k $ e$ v_k $ sono paralleli
C) esiste uno ed un solo valore di k per cui$ u_k $ e$ v_k $ sono perpendicolari
D)esistono ...
salve!
ho un piccolo dubbio riguardante il calcolo del determinante
mi chiedevo se è possibile applicare le mosse di gauss fino a quando ottengo una riga o una colonna con un solo elemento non nullo e poi su di essa applicare il metodo di laplace
oppure quando comincio a ridurre la matrice con gauss poi l'unico modo per calcolarne il determinante è di ridurla a scalini e fare il prodotto degli elementi della diagonale?
grazie!
A vi riesce trovare una topologia su un insieme $X$ che sia più fine della conumerabile, $T_2$, ma non discreta?
A me no, ovviamente affinché si abbia per lo meno la speranza di riuscirci $X$ deve essere più che numerabile.
Ciao!
Avrei bisogno di un chiarimento sul teorema spettrale il cui enunciato:
i) V sp-vettoriale euclideo su R
ii) f $ in $ End(V)
f simmetrico $ hArr $ V ammette una base ortonormale di autovettori di f
Finchè si parla di endomorfimi il teorema mi è chiaro.
Tuttavia come conseguenza di tale teorema si ha:
i) A matrice nxn, R
A simmetrica $ rArr $ A=X*D*(X)^(-1)
dove:
D diagonale
X matrice ortonormale
Se venisse esplicitato che A simmetrica e matrice ...
Buongiorno a tutti ho svolto un esercizio ma non sono sicuro dei risultati ottenuti.
L'esercizio è il seguente:
Determinare per quali valori reali di k la matrice A =( ( 3 , 0 , -7 ),( k , 3 , 4 ),( 0 , 0 , 2 ) ) è diagonalizzabile.
Ho calcolato prima di tutti il polinomio caratteristico che però non presenta il parametro k.
Il polinomio è $P(lambda) = (3-lambda)^2(2-lambda)$ e quindi gli autovalori sono $lambda = 3, alg(3) = 2$ e $lambda=2, alg(2)=1$.
Arrivato a questo punto ho calcolato la ...
Salve a tutti!
Avrei alcuni dubbi sul come trovare una base ortogonale del nucleo/immagine di una trasformazione lineare.
Da quanto ho capito il procedimento per calcolare una base ortogonale dell'immagine consiste in::
1) trovare la matrice associata
2) ridurre con gauss -> dimensione dell'immagine = rango della matrice ridotta
3) prendere un numero di colonne dalla matrice non ridotta uguale alla dimensione dell'immagine e questa sarà già una base
4)la rendo ortogonale con graham ...
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