Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Mi trovo con un dubbio nei confronti della soluzione riportata sul testo:
Ho il seguente esercizio:
Dati i vettori:
x=(1,-1,2h)
y=(h,h,-2)
z=(1,0,0)
Chiede se esistono dei valori di h per cui il vettore x bisechi l’angolo formato da y e da z?
Io ho pensato di impostare cos(xy)=cos(xz)
Ho fatto i calcoli essendo riferito a base ortonormale positiva
E da questa mi esce h^2=4/14 cioe h=2/√14 e h=-2/√14
Concluderei che per quegli h ho trovato la biettrice e invece l'esercizio dice: non esistono ...
Salve ho dei dubbi riguardati la base di hamel.
Se io ho uno spazio vettoriale di $R_2[x]$ la sua base canonica sarà$(x^2,x,1)$.
Il dubbio mi nasce per la base di $R[x]$ dato che su un libro l'ho trovata uguale a quella di $R_2[x]$
Possibile???
Cosa significa che il complemento ortogonale di un autovettore è invariante?
Io conosco questo lemma che asserisce:
dato un operatore autoaggiunto $A:X->X$ , un autovalore $\lambdainCC$ ed il corrispondente autovettore $uinX$ $u!=0$, se $wu=0$ cioè $w$ è ortogonale a $u$ allora anche $Aw$ lo è.
Sia $V = ( v_1, v_2, v_3, v_4)$ con
$v1 = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v2 = (2, 2k + 2, 0, 0), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (−3, −7, −1, 2k)$
a) Si determini la dimensione di $V $al variare di $k ∈ R$.
b) Si determini una base di $V$ al variare di$ k ∈ R.$
Scrivo la matrice associata
$((3,2,1,-3),(7,2k+2,1,-7),(k+1,0,0,-1),(2k+2,0,0,2))$
e risolvendola ottengo che per $k!=0,-1$ $dim(V)=4=rank(A)$ inoltre $B(V)=(v_1,v_2,v_3,v_4)$
Ora l esercizio mi indica che se $k=0$ la$ dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_1,v_3,v_4)$
mentre per $k=-1$ ...
Dato il seguente esercizio:
gli spazi $X = ⟨ (1,−1,1) , (1,1,1) ⟩$ e $Y = ⟨ (0,1,2),(2,1,1),(−2,1,3) ⟩$ verificano:
$A$: la loro somma è diretta
$B$: $X=Y$
$C$: $X⊂Y$
$D$: ${0}⊂X∩Y⊂X$
$E$: nessuna delle altre
La soluzione è la $D$ ma non la capisco, di seguito il mio ragionamento:
1.
Provo prima a studiare se $X⊂Y$ quindi ho come incognite $y_1, y_2, y_3$ del seguente ...
Salve a tutti, ho qui due domande da proporvi a cui ho risposto, ma volevo sapere se sono giuste
1) Sia $V_4$ uno spazio vettoriale di dimensione $4$. Esistono due sottospazi $U$ e $W$ di $V_4$ entrambi di dimensione $3$ che si intersechino in un sottospazio di dimensione $1$?
2) Se $U$ e $W$ sono due sottospazi distinti e non banali di $V_4$, entrambi di ...
Ciao a tutti!
Vorrei capire qual'è la differenza tra una 1 distrubuzione e un campo vettoriale mai nullo. È ovvio che da un campo mai nullo posso trovare una 1 distribuzione, ma perché dovrebbe esistere una 1 distribuzione che non viene da un campo vettoriale mai nullo?
Qualcuno sa darmi un hint da cui partire? Grazie
Buonasera,
N.b. E' un esercizio che fa riferimento a diversi insiemi di vettori, vi riporto solo il primo dove nutro una maggiore incertezza
Si stabilisca se i seguenti vettori di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) formano:
1) Un insieme libero. In caso affermativo, completarlo per ottenere una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero.
2) Un insieme di ...
Salve non riesco a svolgere questo esercizio.
In Ee3(R) si considerino le rette r : 2x + z − 1 = 0 = y + 6z − 2 ed s : y − 6z − 2 = 0 = x + z − 1
e il piano α : y + 1 = 0. Si determinino le equazioni cartesiane delle rette incidenti r ed s e distanti 3 dal piano α.
grazie
Stavo guardando questa prova d'esame passata e non capisco come impostare questo punto:
SI consideri $A=((2,k,0),(k,2,0),(k,0,5))$
Il punto c chiede: per K=3 dire se la matrice A è simile a una matrice triangolare superiore.
Non capisco però come esprimere $P^-1AP=T$ con i dati che ho per dimostrarne la possibilità o meno dell'esistenza.
Grazie per l'aiuto
Dato uno spazio topologico uno può considerare la più piccola ___PRESERVED_0___-algebra che contiene tutta la topologia, questa è una costruzione più che classica che genera la cosiddetta $\sigma$-algebra dei boreliani di uno spazio topologico.
Ero interessato a capire se ci fossero delle caratterizzazioni in termini di aperti e chiusi dei boreliani, in effetti ne conosco una che funziona sui vari $RR^n$ , che però è un casino da scrivere, quindi non la riporto, dico solo che si può ...
Esiste una topologia su $NN$ tale che è $T_2$ e esistono funzioni continue non costanti da $RR$ con l'euclidea in $NN$?
L'ultima condizione ad occhio mi sembra che sia equivalente a dire che non è totalmente sconnesso per archi.
Se imponiamo come condizione che ne deve esistere pure una suriettiva (di funzioni continue)?
Sia $NN$ l'insieme $\{0,1,2,...\}$ con la topologia discreta, e sia \(C = \{0\} \cup \{1/n \mid n\ge 1\}\subset \mathbb R\) con la topologia indotta dall'inclusione; mostrate che esiste una mappa $NN \to C$ che è un'equivalenza omotopica debole.
Salve a tutti, ho un quesito che mi ha mandato in palla.
Si consideri due basi $e,$ $f$ di uno spazio vettoriale reale, denotiamo le rispettive basi duali con $e^{\star}$ e $f^{\star}$.
Che relazione c'è tra la matrice di cambiamento di base $M_e^f$ e la matrice di cambiamento di base $M_{e^\star}^{f^\star}$?
Facendo riferimento al pairing naturale a me viene così: $\forall v \in V,$ $\forall x\in V^\star$ $x(v)=\langle x_{e^star},M_e^f v_f \rangle=\sum_{i=1}^n x_i (\sum_{j=1}^n m_{ij}v_j)=\langle(M_e^f)^T x_{e^star},v_f\rangle.$
Ho usato notazioni piuttosto ...
Salve a tutti,
Buona festa della Liberazione.
Sto cercando di risolvere questo esercizio tratto da un compito dato dal mio prof.
Sia $A= ((0,1,0,0,0),(-1,0,0,0,0),(0,0,0,-1,0),(0,0,0,0,-1),(0,0,-1,0,0)) in RR^(5,5)$.
1. Esiste $D in SU(5)$ tale che $D^* A D$ sia diagonale?
2. Determinare, se esiste, $C in U(5)$ tale che ...
Ciao a tutti, ho bisogno di una mano con un'esercizio di geometria nello spazio.
Ho due fasci di piani, il primo F(r) con asse la retta $ r:{ ( x-y+3=0 ),( 2x+y+z=0 ):} $
e il secondo F(s) con asse la retta $ s:{ ( 3x+z-3=0 ),( 3y+z+3=0 ):} $
devo trovare il piano $ alpha $ che appartiene all'intersezione dei due fasci di piani.
Io oltre a determinare le equazioni parametriche dei fasci non so come muovermi... Devo fare un sistema tra le equazioni parametriche dei fasci?
Salve a tutti,
Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no.
Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$
a) calcolare la segnatura di $phi$;
b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$
Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. ...
Sia A una matrice con 3 righe e 2 colonne a coefficienti reali. Si consideri la matrice B = A*(A)t [(A)t = matrice trasposta di A] :
Dimostrare che B è simmetrica e non invertibile
Dimostrare che gli autovalori non nulli di B sono tutti positivi
Grazie in anticipo, non riesco a trovare l’input giusto per iniziare la dimostrazione
Vi propongo un esercizio (nel senso che io l'ho già risolto) che mi è piaciuto, sia $X=QQ^\infty$ la compattificazione di Alexandroff di $QQ$, si dimostri che $X$ è connesso ma totalmente sconnesso per archi (le componenti connesse per archi sono i singoletti).
Ho un esercizio che non riesco a capire proprio
è data l'applicazione lineare: $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1-4x_2+x_3,x_2),(x_2,x_1-2x_3)$
Determinare $f^-1((A(R^(2,2)))$ con A antisimmetriche
Io ho impostato, con la matrice associata alla base canonica
$((1,-4,1),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,2))((x),(y),(z))=((0),(a),(-a),(0))$
Il problema è che mi esce un sistema con y=a e y=-a cioè se e solo se a=0. Quindi l'unica matrice antisimmetrica è la nulla e si riduce al kernel della matrice associata.
E il Kernel di quella matrice è il vettore con x=0, y=0, z=0: (0,0,0)!
Il problema è che il ...
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