Geometria e Algebra Lineare

Data l’applicazione da $RR^3$ in $RR^2$ definita da $((2,1,0),(1,1,1))$ mi aiutate a capire se è suriettiva/iniettiva? ho posto il sistema uguale a zero per capire quale fosse il Ker e mi viene un valore diverso da zero quindi posso confermare che non è iniettiva, ma per la suriettività?

Buonasera. Ho un'enorme difficoltà nel comprendere la definizione di sistema di generatori e di base. Un sistema è un sistema di generatori quando la sua chiusura lineare coincide con lo spazio. Cioè se sono in R4 e ho quattro vettori? Un sistema può essere non indipendente giusto? e poi un sistema deve coprire tutto lo spazio per forza? Esempio sto in R3 il sistema di generatori deve avere tre vettori o anche più o di meno? Un sistema di generatori è una base se è indipendente. Una base deve ...

CIao ragazzi, ho bisogno di voi per un problema su cui sbatto la testa da circa 1 ora e mezza senza risultati. L'esercizio è questo, una applicazione lineare: $f:R^4->S^(2,2)$ con $S^(2,2)$ matrici simmetriche Ho trovato la matrice associata rispetto alle basi canoniche $A=((1,-3,2,5), (0,18,0,-27), (0,6,0,-9))$ Devo determinare base e dimensione di $f^-1(H)$ con $H=Span((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))$ Dato che $((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))$ sono base ho pensato di trovare le controimmagini di qeusti due vettori e trovare così per ...

Mi trovo con un dubbio nei confronti della soluzione riportata sul testo: Ho il seguente esercizio: Dati i vettori: x=(1,-1,2h) y=(h,h,-2) z=(1,0,0) Chiede se esistono dei valori di h per cui il vettore x bisechi l’angolo formato da y e da z? Io ho pensato di impostare cos(xy)=cos(xz) Ho fatto i calcoli essendo riferito a base ortonormale positiva E da questa mi esce h^2=4/14 cioe h=2/√14 e h=-2/√14 Concluderei che per quegli h ho trovato la biettrice e invece l'esercizio dice: non esistono ...

Salve ho dei dubbi riguardati la base di hamel. Se io ho uno spazio vettoriale di $R_2[x]$ la sua base canonica sarà$(x^2,x,1)$. Il dubbio mi nasce per la base di $R[x]$ dato che su un libro l'ho trovata uguale a quella di $R_2[x]$ Possibile???

Cosa significa che il complemento ortogonale di un autovettore è invariante? Io conosco questo lemma che asserisce: dato un operatore autoaggiunto $A:X->X$ , un autovalore $\lambdainCC$ ed il corrispondente autovettore $uinX$ $u!=0$, se $wu=0$ cioè $w$ è ortogonale a $u$ allora anche $Aw$ lo è.

Sia $V = ( v_1, v_2, v_3, v_4)$ con $v1 = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v2 = (2, 2k + 2, 0, 0), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (−3, −7, −1, 2k)$ a) Si determini la dimensione di $V $al variare di $k ∈ R$. b) Si determini una base di $V$ al variare di$ k ∈ R.$ Scrivo la matrice associata $((3,2,1,-3),(7,2k+2,1,-7),(k+1,0,0,-1),(2k+2,0,0,2))$ e risolvendola ottengo che per $k!=0,-1$ $dim(V)=4=rank(A)$ inoltre $B(V)=(v_1,v_2,v_3,v_4)$ Ora l esercizio mi indica che se $k=0$ la$ dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_1,v_3,v_4)$ mentre per $k=-1$ ...

Dato il seguente esercizio: gli spazi $X = ⟨ (1,−1,1) , (1,1,1) ⟩$ e $Y = ⟨ (0,1,2),(2,1,1),(−2,1,3) ⟩$ verificano: $A$: la loro somma è diretta $B$: $X=Y$ $C$: $X⊂Y$ $D$: ${0}⊂X∩Y⊂X$ $E$: nessuna delle altre La soluzione è la $D$ ma non la capisco, di seguito il mio ragionamento: 1. Provo prima a studiare se $X⊂Y$ quindi ho come incognite $y_1, y_2, y_3$ del seguente ...

Salve a tutti, ho qui due domande da proporvi a cui ho risposto, ma volevo sapere se sono giuste 1) Sia $V_4$ uno spazio vettoriale di dimensione $4$. Esistono due sottospazi $U$ e $W$ di $V_4$ entrambi di dimensione $3$ che si intersechino in un sottospazio di dimensione $1$? 2) Se $U$ e $W$ sono due sottospazi distinti e non banali di $V_4$, entrambi di ...

Ciao a tutti! Vorrei capire qual'è la differenza tra una 1 distrubuzione e un campo vettoriale mai nullo. È ovvio che da un campo mai nullo posso trovare una 1 distribuzione, ma perché dovrebbe esistere una 1 distribuzione che non viene da un campo vettoriale mai nullo? Qualcuno sa darmi un hint da cui partire? Grazie

Buonasera, N.b. E' un esercizio che fa riferimento a diversi insiemi di vettori, vi riporto solo il primo dove nutro una maggiore incertezza Si stabilisca se i seguenti vettori di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) formano: 1) Un insieme libero. In caso affermativo, completarlo per ottenere una base di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) , altrimenti determinare le relazioni di dipendenza lineare tra di loro ed estrarre da questo insieme di vettori almeno un insieme libero. 2) Un insieme di ...

Salve non riesco a svolgere questo esercizio. In Ee3(R) si considerino le rette r : 2x + z − 1 = 0 = y + 6z − 2 ed s : y − 6z − 2 = 0 = x + z − 1 e il piano α : y + 1 = 0. Si determinino le equazioni cartesiane delle rette incidenti r ed s e distanti 3 dal piano α. grazie

Stavo guardando questa prova d'esame passata e non capisco come impostare questo punto: SI consideri $A=((2,k,0),(k,2,0),(k,0,5))$ Il punto c chiede: per K=3 dire se la matrice A è simile a una matrice triangolare superiore. Non capisco però come esprimere $P^-1AP=T$ con i dati che ho per dimostrarne la possibilità o meno dell'esistenza. Grazie per l'aiuto

Dato uno spazio topologico uno può considerare la più piccola ___PRESERVED_0___-algebra che contiene tutta la topologia, questa è una costruzione più che classica che genera la cosiddetta $\sigma$-algebra dei boreliani di uno spazio topologico. Ero interessato a capire se ci fossero delle caratterizzazioni in termini di aperti e chiusi dei boreliani, in effetti ne conosco una che funziona sui vari $RR^n$ , che però è un casino da scrivere, quindi non la riporto, dico solo che si può ...

Esiste una topologia su $NN$ tale che è $T_2$ e esistono funzioni continue non costanti da $RR$ con l'euclidea in $NN$? L'ultima condizione ad occhio mi sembra che sia equivalente a dire che non è totalmente sconnesso per archi. Se imponiamo come condizione che ne deve esistere pure una suriettiva (di funzioni continue)?

Sia $NN$ l'insieme $\{0,1,2,...\}$ con la topologia discreta, e sia \(C = \{0\} \cup \{1/n \mid n\ge 1\}\subset \mathbb R\) con la topologia indotta dall'inclusione; mostrate che esiste una mappa $NN \to C$ che è un'equivalenza omotopica debole.

Salve a tutti, ho un quesito che mi ha mandato in palla. Si consideri due basi $e,$ $f$ di uno spazio vettoriale reale, denotiamo le rispettive basi duali con $e^{\star}$ e $f^{\star}$. Che relazione c'è tra la matrice di cambiamento di base $M_e^f$ e la matrice di cambiamento di base $M_{e^\star}^{f^\star}$? Facendo riferimento al pairing naturale a me viene così: $\forall v \in V,$ $\forall x\in V^\star$ $x(v)=\langle x_{e^star},M_e^f v_f \rangle=\sum_{i=1}^n x_i (\sum_{j=1}^n m_{ij}v_j)=\langle(M_e^f)^T x_{e^star},v_f\rangle.$ Ho usato notazioni piuttosto ...

Salve a tutti, Buona festa della Liberazione. Sto cercando di risolvere questo esercizio tratto da un compito dato dal mio prof. Sia $A= ((0,1,0,0,0),(-1,0,0,0,0),(0,0,0,-1,0),(0,0,0,0,-1),(0,0,-1,0,0)) in RR^(5,5)$. 1. Esiste $D in SU(5)$ tale che $D^* A D$ sia diagonale? 2. Determinare, se esiste, $C in U(5)$ tale che ...

Ciao a tutti, ho bisogno di una mano con un'esercizio di geometria nello spazio. Ho due fasci di piani, il primo F(r) con asse la retta $ r:{ ( x-y+3=0 ),( 2x+y+z=0 ):} $ e il secondo F(s) con asse la retta $ s:{ ( 3x+z-3=0 ),( 3y+z+3=0 ):} $ devo trovare il piano $ alpha $ che appartiene all'intersezione dei due fasci di piani. Io oltre a determinare le equazioni parametriche dei fasci non so come muovermi... Devo fare un sistema tra le equazioni parametriche dei fasci?

Salve a tutti, Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no. Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$ a) calcolare la segnatura di $phi$; b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$ Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. ...