Controimmagine dell'applicazione e risultato

[parmeo]

Ho un esercizio che non riesco a capire proprio

è data l'applicazione lineare: $f(x_1,x_2,x_3)=((x_1-4x_2+x_3,x_2),(x_2,x_1-2x_3)$

Determinare $f^-1((A(R^(2,2)))$ con A antisimmetriche

Io ho impostato, con la matrice associata alla base canonica

$((1,-4,1),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,2))((x),(y),(z))=((0),(a),(-a),(0))$
Il problema è che mi esce un sistema con y=a e y=-a cioè se e solo se a=0. Quindi l'unica matrice antisimmetrica è la nulla e si riduce al kernel della matrice associata.
E il Kernel di quella matrice è il vettore con x=0, y=0, z=0: (0,0,0)!

Il problema è che il risultato riportato è: $f^-1(A(R^22))=f^-1(A(R22)⋂im(f))$

Potreste aiutarmi?

[sandroroma]

Forse questa rimarrà come la "boiata di fine anno " ( ) ma a me pare che debba semplicemente essere $x_2=0$
per cui l'antimmagine voluta è l'insieme \(\displaystyle < \left[\begin{matrix}x_1\\0\\x_3\end{matrix}\right]> \) al variare di $x_1,x_3$ in $RR$

[parmeo]

Però non mi torna, nel senso risolvendo quel sistema avrei:
${(x-4y+z=0), (y=a), (y=-a), (x+2z=0) :}$ cioè ${(x=-z),(y=0),(x=-2z):}$ da cui dalla prima e ultima eq.

$-2z=-z$ cioè $z=0$

$x=y=z=0$

Potrei aver sbagliat. Però ricordo che anche l'altro giorno mi veniva tutto zero. Cosa ne pensi, non vedo l'errore.