Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Come s determina la matrice associata ad una base??
posto un esempio.
Sia $B:{(1,1,0),(0,3,0),(0,1,1)} $una base. Determinare la matrice associata all'applicazione lineare $T:RR^3 rarr RR^3$ rispetto a $B$.
Qualche suggerimento ???
Non basta mettere nella matrice le tre componenti della base??
Salve,
ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio.
Ho questa base ${1-x,1-x^2}$ che possiamo scrivere come ${P_1,P_2}$
Ora l'algoritmo di gram-schmidt si applica in questo modo:
$P'_1=P_1$
$P'_2= P_2 - ((P_2 * P_1)/ |P_1|^2) * P_1$
Ora il mio dubbio è da un punto di vista puramente di calcolo... come si esegue il prodotto scalare tra quelle componenti.
Il risultato che ha dato il mio prof dovrebbe essere ${1-x,1/2+1/2x-x^2}$
P.s esistono siti o programmi che eseguono il calcolo scalare ...
Ciao a tutti, mi aiutereste con questo quesito?
Ho un'applicazione lineare da $ R^3 $ a $ R^3 $ così definita
varphi $ (x_1,x_2,x_3)=(-x_1,+x_2,x_1+tx_2+(t+1)x_3,(t+1)x_2+(t+1)x_3) $
Devo determinare, nel caso in cui $ t=1 $, $ varphi^-1 (3,-1,2) $
Io ho prima calcolato il determinante e ho notato che è sempre uguale a 0 per qualsiasi valore di $ t $. Dunque, non è isomorfismo. Da ciò segue che non posso calcolare l'applicazione inversa. E' giusto? Se invece fosse stato isomorfismo, come avrei dovuto ...
Ciao a tutti, sono bloccato su questo esercizio che può sembrare banale ma sinceramente non capisco bene come rigirarmi;
Il triangolo di vertici (1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0), e (0, 0, 1, 1) ha area
A: rad(3)
B: rad(2)/2
C: rad( 5)/2
D: N.A.
E: 0
La risposta giusta è la c, ho provato un altro esercizio del genere ma non mi tornava e comunque il metodo era sicuramente sbagliato, ricordo dalle superiori che in R^3 si doveva risolvere il sistema di coordinate per poi trovare i punti e da li fare ...
Ho un dubbio che mi attanaglia e solo voi potete risolverlo.
Il dubbio principale è come individuare la dimensione di un sottospazio vettoriale.
Vi propongo un esempio nello specifico se io avessi una matrice $2x2$ ad esempio $((-s,0),(s,-s+1))$
Quale sarebbe la dimensione??? io credo che si dovesse calcolare il rango e in base al rango cosi è la dimesione. Ovvero rango 2 allora la dimensione è 2???
Giusto o mi confondo????
Buongiorno, vorrei sapere come svolgere questa tipologia di esercizi su cui non so proprio come mettere le mani.
Siano date le rette r: $ { ( x+3z-1=0),( y+2z+2=0 ):} $ e s : $ { ( x=2+t ),( y=1-3t ),( z=3-3t ):} $
determinare il piano che contiene r ed è ortogonale a s
Ho considerato il fascio di piano generato da r
$ lambda (x+3z-1)+mu (y+2z+2)=0 $ ed ho pensato di imporre l'ortogonalità con s
cioè la giacitura del piano dovesse essere proporzionale a s quindi
$ (lambda , mu ,3lambda +2mu )=h(1,-3,-3) $
da cui il sistema $ { ( lambda=h ),( mu = -3h ),( 2lambda +2mu =-3h ):} $ che però ammette ...
Buongiorno ragazzi, sto preparando l'esame di Geometria ed algebra. Devo risolvere questo esercizio:
"Si trovi la superficie S ottenuta dalla rotazione della curva γ di equazioni $ x=-t ,<br />
y= t^2+1 ,<br />
z=2t $
attorno alla retta $ x= 2z-1 , <br />
y= z+1 $ "
Allora per risolverlo, cercando su alcuni libri e un po' su internet, ho provato a fare così:
Ho trovato il generico punto Pt (-t ; t^2 , 2t) ed il piano passante per il punto generico ed ortogonale all'asse di rotazione della retta s trovando ...
La matrice associata all’operatore $A((u_1),(u_2)) = ((1,2),(1,3))((u_1),(u_2))$ ed alle basi $(1, 0), (1, 1)$ del dominio e $(1, 2), (0, 1)$ del codominio, come la si trova?
grazie
Buongiorno, vorrei un aiuto su questo esercizio
date le rette
r $ { ( 3x-y-2z-3=0 ),( x+y-2z-1=0):} $ e s $ { ( x-y-z-1=0 ),( 2x-y-3z-2=0):} $
determinare
a) il piano $ alpha $ che contiene entrambe
b)il piano $ beta $ che contiene r ed è ortogonale a s
c) il piano $ gamma $ che contiene r ed è parallelo a s
ho calcolato le eq parametriche di r $ { ( x=1+t ),( y=t ),( z=t ):} $ e s $ { ( x=1+2t ),( y=t ),( z=t ):} $
per il punto a ho fatto il sistema con un punto di a (1,0,0) e i direttori di entrambi
$ { ( x=1+t+2s ),( y=t+s ),( z=t+s ):} $ ...
Devo calcolare proiezione di $(1, 3, 2)$ sul piano affine $(1, 1, 0) + ⟨(2, 1, 1), (1, 1, 2)⟩$ quindi procederei in questo questo modo:
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](2, 1, 1)=0$
$[\ (1, 3, 2) -( (1, 1, 0) + alpha(2, 1, 1)+beta(1, 1, 2))\ ](1, 1, 2)=0$
però a me torna sia $\alpha$ che $\beta$ uguale $4/11$
la soluzione è la proiezione $1/11 (15,21,26)$
ma il risultato me non mi torna così e l'ho provato numerose volte. Dove sbaglio?
Studiando:
$⟨(1, 1, 1, 0), (2, 0, 1, 1)⟩$ la retta parametrica $γ(t) = (0, 0, 0, 1) + t(1, −1, 0, 1)$
devo dire se
$A:$ sghemba
$B:$ nessuna delle altre
$C:$ incidente
$D:$ parallela senza punti comuni col piano
$E:$ giacente sul piano
ne ho studiato l'intersezione così: $alpha*t+beta*v=x_0+r$
non trovo soluzioni quindi la retta non è incidente al piano.
Non mi torna il concetto di sghembe tra piano e retta, se la retta non è incidente al piano posso avere solo 2 ...
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Geometria e mi ritrovo qualche dubbio svolgendo i temi d'esame di qualche hanno fa, soprattutto con gli spazi vettoriali, ecco alcune richieste che mi vengono fatte:
[*:268frvyb]"Esibire un esempio di un sistema di vettori linearmente indipendenti in R3 che non sia una base di R3".[/*:m:268frvyb][/list:u:268frvyb]
Io a questo punto scriverei (1,0,0) e (0,1,0) così i vettori sono linearmente indipendenti ma allo stesso tempo non sono 3 per cui non sono ...
Premessa: mi scuso in anticipo per la prolissità del discorso ma ho cercato di essere il più chiara possibile e soprattutto volevo riportare tutti i miei sforzi e i miei ragionamenti anche per presentare il modo in cui io (o più che altro il mio prof) studio un problema. Detto questo, ecco l'esercizio:
Nel piano proiettivo $P^2(RR)$ sono dati i seguenti punti:
$P_1=[1,0,0] P_2=[0,1,0] P_3=[0,0,1] P_4=[0,1,1]$
$Q_1=[0,1,0] Q_2=[1,0,0] Q_3=[0,0,1] Q_4=[1,0,1]$
Determinare, se esiste, una proiettività $F:P^2(RR) rarr P^2(RR)$ tale che ...
Ciao a tutti! Stavo svolgendo un esercizio riguardo una applicazione lineare.
-Sia f l'applicazione lineare rispetto alla base canonica della matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
Non sapendo bene come scriverne l'immagine, ho scritto \(\displaystyle Imf= span((2,-1,1),(-1,2,1)) \)
Dopodichè, dovevo trovare l'autospazio relativo all'autovalore più grande.
Il polinomio caratterisco mi risulta \(\displaystyle -\lambda(\lambda-3)^2 \) da cui ricavo gli autovalori \(\displaystyle \lambda=0 \) e ...
Secondo voi qual è il metodo per risolvere questo esercizio:
La retta per $(1, 1, 1)$, perpendicolare a $(1, 0, 1) + t(1, 2, 1)$
grazie
Non riesco a capire quale sia la soluzione corretta e perché, mi aiutate please?
L’insieme delle funzioni positive (o nulle) su $[0,1]$, con le consuete operazioni di somma e multiplo scalare
$A:$ non è uno spazio vettoriale
$B:$ nessuna delle altre
$C:$ è uno spazio normato
$D:$ è uno spazio vettoriale su $RR$
$E:$ è uno spazio vettoriale su $CC$
Relativamente all’operatore $A(u) = u′′$, da $C^∞$ in sé:
$A:$ $−1$ è un autovalore e ${1, t}$ è una sua base spettrale
$B:$ nessuna delle altre
$C:$ $−1$ è un autovalore e ${sin t, cos t}$ è una sua base spettrale
$D:$ $1$ è un autovalore e ${sin t, cos t}$ è una sua base spettrale
$E:$ $0$ è un autovalore e ${sin t, cos t}$ è una sua base ...
Ciao ragazzi e Buon Anno.
Mi serve un aiuto per questo esercizio che trovo un po' ostico...
Si consideri $f:RR^4 rarr RR^4$ applicazione lineare che manda il vettore $ ( x_1 \ \ x_2 \ \ x_3 \ \ x_4 ) ^t $ nel vettore $ ( x_2 \ \ x_3 \ \ x_4 \ \ x_1 ) ^t $
a) Trovare il minimo intero $n$ positivo tale che $f^n$ sia l'identità.
b) Determinare autovalori e autovettori di $f^(-1)$.
c) Sia $F:CC^4 rarr CC^4$ l'applicazione lineare che manda il vettore $ ( z_1 \ \ z_2 \ \ z_3 \ \ z_4 ) ^t $ nel vettore $ ( z_2 \ \ z_3 \ \ z_4 \ \ z_1 ) ^t $. Dire ...
Salve, avrei bisogno di un aiuto a risolvere questo esercizio. Credo sia da fare per induzione ma ho problemi col passo induttivo sia per quanto riguarda la prima richiesta che la seconda.
Dati i monomi $ 1, x, x^2, ... , x^n $ che formano una base dello spazio dei polinomi $ <=n $ si dimostri che anche i polinomi $ 1, (x+a), (x+a)^2, ... , (x+a)^n $ formano una base di tale spazio. Si trovi poi la rappresentazione degli elementi di una base tramite gli elementi dell'altra e viceversa
Salve avrei bisogno di una mano ad approcciare questo problema.
I vettori $ e^1, e^2, ... ,e^(n+1) $ appartengono allo spazio euclideo $ R^n $ e soddisfano le relazioni $ <e^i, e^j><0 AA i!= j $. Si dimostri che qualsiasi n vettori scelti tra questi formano una base.
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