Esercizio applicazioni lineari con parametro
Ciao a tutti, vi posto un esercizio e la mia risoluzione per vedere se l’ho svolto bene oppure no.Ringrazio tutti quello che interverranno.
$f:R^3 -> R^3$
Mi viene data l’immagine dei tre vettori della base canonica del dominio
$ f:(1,0,0) = t(1,0,0) +3(0,1,0) -3(0,0,1)$
$f:(0,1,0) = 4(0,1,0) -(0,0,1)$
$f:(0,0,1) = 3(0,1,0)$
Mi ricavo la matrice associata e trovo il vettore che mi rappresenta l’immagine di un generico vettore del dominio.
t 0 0
3 4 3 (x,y,z) =. (tx,3x+4y+3z,-3x-y)
-3-1 0
Mi chiede di trovare il ker e l’immagine dell’applicazione al variare di t.
Trovo il ker ponendo a sistema le componenti dell’immagine di un generico vettore del dominio.
E per t=0 trovo che il ker ha dimensione 1 e una sua base è costituita dal vettore ( 1,-3,3)
Per t diverso da 0
invece trovo che il ker è banale.
Nel primo caso la dimensione dell,immagine è uguale a 2 e una sua base è (0,4,-1) (0,3,0).
Nel secondo caso ovviamente l’applicazione in quanto iniettiva è anche suriettiva (è un endomorfismo) e quindi l’immagine ha dimensione 3 e coincide con $R^3$ quindi una sua base è quella canonica di $R^3$.
Secondo voi è giusto?
$f:R^3 -> R^3$
Mi viene data l’immagine dei tre vettori della base canonica del dominio
$ f:(1,0,0) = t(1,0,0) +3(0,1,0) -3(0,0,1)$
$f:(0,1,0) = 4(0,1,0) -(0,0,1)$
$f:(0,0,1) = 3(0,1,0)$
Mi ricavo la matrice associata e trovo il vettore che mi rappresenta l’immagine di un generico vettore del dominio.
t 0 0
3 4 3 (x,y,z) =. (tx,3x+4y+3z,-3x-y)
-3-1 0
Mi chiede di trovare il ker e l’immagine dell’applicazione al variare di t.
Trovo il ker ponendo a sistema le componenti dell’immagine di un generico vettore del dominio.
E per t=0 trovo che il ker ha dimensione 1 e una sua base è costituita dal vettore ( 1,-3,3)
Per t diverso da 0
invece trovo che il ker è banale.
Nel primo caso la dimensione dell,immagine è uguale a 2 e una sua base è (0,4,-1) (0,3,0).
Nel secondo caso ovviamente l’applicazione in quanto iniettiva è anche suriettiva (è un endomorfismo) e quindi l’immagine ha dimensione 3 e coincide con $R^3$ quindi una sua base è quella canonica di $R^3$.
Secondo voi è giusto?
Risposte
"JackPirri":
Nel secondo caso ovviamente l’applicazione in quanto iniettiva è anche suriettiva (è un endomorfismo) e quindi l’immagine ha dimensione 3 e coincide con R3 quindi una sua base è quella canonica di R3.
io come base considererei invece le tre colonne della matrice rappresentativa, con $t in RR-{0}$
Ciao cooper, ora che ci penso in effetti è più adeguato (riferendosi all'esercizio) considerare la base che mi hai giustamente suggerito.Grazie.
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