Analisi matematica di base
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Salve, se una funzione di classe C1 su tutto il piano, ammette un estremo in un punto $(x_0,y_0)$ della circonferenza di centro l'origine e raggio 1 perché esiste $l $ reale tale che $\nabla f(x_0,y_0)=2l(x_0,y_0)$?
Salve, abbiamo studiato il teorema e la regola di De l'hopital e ho trovato questo limite.
$lim_(x->0+) ((sen(x))^x$
Ho delle perplessità circa l'applicazione della regola di De l'Hopital in quanto secondo i miei calcoli mi ritrovo con $(-infty)/(0+)$ e non con una forma indeterminata del tipo $0/0$ o $infty/infty$ e quindi il limite viene da se.
Ecco i passaggi:
$lim_(x->0+) (e^(ln(sen(x))^x)) = lim _(x->0+) (e^(xln(sen(x)))) = lim_(x->0+) e^(((ln(sen(x))/(x))))$ A questo punto il limite fa 0. Ma invece fa 1 solo che non riesco a capire perchè. Grazie tante.
Salve, avendo il seguente studio di funzione
[tex]f\left(x\right)=\left(x^{2}-A^{2}\right)\log\left(|x^{2}-A^{2}|\right)-x^{2}[/tex]
e considerando [tex]x>0[/tex]
da traccia delle soluzioni si ha che
[tex]\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}f\left(x\right)=\underset{x\rightarrow A^{-}}{\lim}f\left(x\right)=-A^{2}[/tex]
Sto provando a raggiungere tale risultato ma mi incastro sul fatto che se si guarda la prima parentesi a sinistra e il logaritmo, si giunge a una forma indeterminata di 0 * ...
Salve, sto avendo problemi nella soluzione di questo esercizio.
Dato il sistema $ x'=Ax $ , dove $ A=((1,-4,0),(2,5,0),(0,0,-2)) $ , determinare la varietà stabile e instabile del sistema. Onestamente non so proprio come procedere quindi qualche dritta mi sarebbe molto utile, grazie.
Buongiorno, vorrei sapere se ho svolto correttamente il seguente esercizio d'esame:
Determinare le coordinate del baricentro di una lamina sottile di densità costante che occupa la semisfera superiore di centro l'origine e raggio unitario.
Posta $S={(x,y,z) in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0}$
Sia $B=(x_B, y_B, z_B)$ il baricentro e $\mu(x,y,z)=k in \mathbb{R}$ la densità
Si ha
$x_B=1/M \int\int\intkxdxdydz$ con $M=\int\int\intkdxdydz$
Passando a coordinate sferiche: $T:$ \begin{cases}
x=\rho sin \phi cos \theta \\
y=\rho sin \phi sin ...
Ciao a tutti,
stavo studiando il teorema del doppio limite e, nonostante penso sia un'osservazione banale, mi sfugge il perché di questa affermazione:
sup $| f_n(x)-f_m(x)|< \varepsilon \Rightarrow \lim_{x\rightarrow xo} |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon$
Grazie mille a tutti
Ciao a tutti, sto studiando una derivata e devo risolvere quindi una disequazione quarta.
La seguente:
$x^4+14x^3+48x^2-11>0$
Ho raccolto x^2 e ottenuto due disequazioni di secondo grado, ma non so come procede. O meglio, sembra una spuria, ma non essendo 0 il termine noto, come la risolvo?
Grazie a tutti!!..
Buonasera a tutti,
sto cercando di capire ila dimostrazione del teorema di Weirstrass. Ho letto la dimostrazione del libro (Giusti) e non mi è chiaro l'ultimo passaggio.
La dimostrazione che riporta è:
"Dimostriamo che la funzione f ha massimo.
Sia M l'estremo superiore della funzione f in E, e sia L
Salve, qualcuno mi potrebbe aiutare con questa disequazione goniometrica:
$ 2cos2x-2sen2x> 0 $ da risolvere nell'intervallo $ [0;Pi ] $ .
Ho provato ad usare le formule di duplicazione ma non riesco a venirne a capo. Vi ringrazio per l'aiuto
Saluti
Piccolo dubbio riguardo all'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale $y'=2\sqrt(y)$.
Oltre alla soluzione costante identicamente nulla ottengo le non costanti nella forma:
$y=(t+c)^2$
La domanda è: imponendo la condizione iniziale $y(0)=1$, non ottengo un'unica soluzione perchè nell'intorno del punto $t=0$ l'ipotesi di $f(t,y)$ lipschitziana non è soddisfatta e quindi non è piu garantita l'unicità?
Buongiorno!
Non capisco quale sia l'errore nel risolvere questa derivata
$ f(x) = log|(x+3)/(2-x)| $
Ho provato a risolverla così:
$ g'(x) = 1/|f(x)| $ derivata del log $ * |f(x)|/f(x) $ derivata del valore assoluto $ * f'(x) $ derivata della frazione
Ovvero
$ f'(x) = 1/|(x+3)/(2-x)| * |(x+3)/(2-x)|/((x+3)/(2-x)) * ((1)(2-x)-(x+3)(-1))/(2-x)^2 = $ semplifico den e num delle prime due fraz. $ 1/((x+3)/(2-x)) * (2-x+x+3)/(2-x)^2 = (2-x)/(x+3) * 5/(2-x)^2 = 5/((x+3)(2-x)) $
Mentre il risultato dovrebbe essere:
$ f'(x) = -5/((x+3)(2-x)) $
Sia $f:RR->RR$ una funzione liscia.
Voglio calcolare $\nabla (f \cdot f)$, cioè il gradiente del prodotto scalare di $f$ con se stessa (cioè la derivata del prodotto scalare con se stessa).
Ho che $\nabla (f \cdot f) = (\nabla f) f + f (\nabla f) = 2 (\nabla f) f$.
Se ora considero una funzione $g:RR^n->RR^n$ liscia, vale una formula analoga per $\nabla (g \cdot g)$?
Premesso che la domanda è puramente matematica e non ha a che vedere con l'elettromagnetismo, fornisco comunque un pò di contesto. Studiando sul libro 'Antenna theory and design' di R.S.Elliott, pag. 22, mi trovo di fronte a questa espressione:
\(\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J} \)
dove \(\displaystyle \rho \) è la densità di carica, \(\displaystyle \mathbf{J} \) è la densità di corrente, \(\displaystyle \omega \) è la pulsazione, \(\displaystyle ...
Premesso che non ho studiato analisi complessa, ho notato che la definizione di integrale e la sua relazione con la derivata si mantengono invariati se invece di pensare a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{R} \) si pensa a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{C} \) (purché si estanda implicitamente la definizione di limite a questo tipo di funzioni, cosa totalmente gratuita).
Dunque ciò che è cruciale è che il dominio continui a essere \(\displaystyle \mathbb{R} \). A questo ...
Buonasera, qualcuno potrebbe controllare se ho risolto il seguente esercizio nel modo corretto?
Data l'equazione differenziale $y'=x^2/(2y^2+1)+4$, discutere l'esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy ad essa associati, studiare la monotonia delle soluzioni e il loro intervallo massimale di definizione.
$f(x,y)=x^2/(2y^2+1)+4$ è definita su tutto $\mathbb{R}^2$
$f in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ quindi f è continua e lipschitziana in y uniformemente rispetto a x
(è corretto dire che per mostrare ...
Ciao, cercando di rispondermi a un dubbio con il forum sono giunto a questa conversazione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8462980 , in particolare mi interessa capire di più riguardo a:
"pilloeffe":la soluzione dell'equazione differenziale seguente:
$\ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $
ove $\omega_n := \sqrt{k/m}$ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $
Si trova che la soluzione di tale equazione è la seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Ora se $c^2 < 4mk \implies \zeta^2 - 1 < 0 $ (il che accade anche nel caso particolare $\zeta = 0 $) la soluzione può essere ...
So che una curva per essere regolare deve avere almeno una parametrizzazione $\vec r (t)$ tale che:
- ha componenti continue con derivate continue
- la sua derivata non si deve annullare
Se volessi dimostrare che una curva non è regolare non posso certo usare questa definizione perchè dovrei far vedere che nessuna delle infinite parametrizzazioni possibili ha queste caratteristiche;
per esempio, sul libro c'è una funzione $y=root(3)(x^2)$:
che se ho capito bene ...
Ciao a tutti, sto svolgendo i primi esercizi sui sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. La tecnica risolutiva spiegata a lezione risulta essere quella classica.
Il sistema è il seguente :
$ { ( x'(t)=3x-4y ),( y'(t)=x-y ):} $
Gli autovalori della matrice risultano :
$ lambda =1 $ con molteplicità algebrica pari a 2.
Quindi per le soluzioni ottengo una combinazione lineare del tipo :
$ x(t)=C1e^t+C2te^t$
$y(t)=C3e^t+C4te^t$
Ho due costanti di troppo, derivo la soluzione y(t), ...
Salve a tutti,
Stavo risolvendo un problema di elettrodinamica quando sono incappato in due serie infinite abbastanza curioso. Il problema sarebbe un solenoide infinito in cui scorre una corrente \(\displaystyle I(t)=I_0e^{i\omega t} \), ma la cosa davvero interessante sono le soluzioni che ottengo per i campi elettromagnetici, in coordinate cilindriche:
\(\displaystyle \vec{E}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}{E}_{2k+1}\hat{\phi} \) e \(\displaystyle \vec{B}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\vec{B}_{2k} ...
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