Esistenza e unicità delle soluzioni di problemi di Cauchy
Buonasera, qualcuno potrebbe controllare se ho risolto il seguente esercizio nel modo corretto?
Data l'equazione differenziale $y'=x^2/(2y^2+1)+4$, discutere l'esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy ad essa associati, studiare la monotonia delle soluzioni e il loro intervallo massimale di definizione.
$f(x,y)=x^2/(2y^2+1)+4$ è definita su tutto $\mathbb{R}^2$
$f in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ quindi f è continua e lipschitziana in y uniformemente rispetto a x
(è corretto dire che per mostrare la lipschitzianità mi basta che $\partial_yf(x,y) in \mathcal{C}(\mathbb{R}^2)$, cioè che $f in \mathcal{C}^1$ rispetto a y?)
Quindi per il teorema di esistenza e unicità locale si ha che $\forall (x_0,y_0) in \mathbb{R}^2$ il PC \begin{cases}
y'=\frac{x^2}{(2y^2+1)+4} \\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
ha un'unica soluzione locale y definita in un intorno di $x_0$, $y:[x_0-\delta, x_0+\delta] \rightarrow \mathbb{R}$
Per l'esistenza globale ho verificato l'ipotesi su una "striscia":
Fissati $x_1,x_2 in \mathbb{R}$ con $x_0 \in [x_1,x_2]$, su $[x_1,x_2]$ si ha
$x^2 \leq c_(x_1,x_2)$ (costante dipendente dai $x_1$ e $x_2$ scelti)
Quindi
$|f(x,y)|\leq c/(2y^2+1)+4$ ed essendo $1/(2y^2+1)\leq 1$ si ha
$|f(x,y)|\leq c+4=k$
Cioè $f$ è limitata da una costante $k$ che dipende da $x_1$ e $x_2$
Quindi $exists !$ soluzione su tutto $[x_1,x_2]$
Per l'arbitrarietà di $x_1$ e $x_2$ si ha che $exists !$ soluzione su tutto $\mathbb{R}$
Riguardo la monotonia $y'>0$ quindi tutte le soluzioni sono crescenti
Data l'equazione differenziale $y'=x^2/(2y^2+1)+4$, discutere l'esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy ad essa associati, studiare la monotonia delle soluzioni e il loro intervallo massimale di definizione.
$f(x,y)=x^2/(2y^2+1)+4$ è definita su tutto $\mathbb{R}^2$
$f in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ quindi f è continua e lipschitziana in y uniformemente rispetto a x
(è corretto dire che per mostrare la lipschitzianità mi basta che $\partial_yf(x,y) in \mathcal{C}(\mathbb{R}^2)$, cioè che $f in \mathcal{C}^1$ rispetto a y?)
Quindi per il teorema di esistenza e unicità locale si ha che $\forall (x_0,y_0) in \mathbb{R}^2$ il PC \begin{cases}
y'=\frac{x^2}{(2y^2+1)+4} \\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
ha un'unica soluzione locale y definita in un intorno di $x_0$, $y:[x_0-\delta, x_0+\delta] \rightarrow \mathbb{R}$
Per l'esistenza globale ho verificato l'ipotesi su una "striscia":
Fissati $x_1,x_2 in \mathbb{R}$ con $x_0 \in [x_1,x_2]$, su $[x_1,x_2]$ si ha
$x^2 \leq c_(x_1,x_2)$ (costante dipendente dai $x_1$ e $x_2$ scelti)
Quindi
$|f(x,y)|\leq c/(2y^2+1)+4$ ed essendo $1/(2y^2+1)\leq 1$ si ha
$|f(x,y)|\leq c+4=k$
Cioè $f$ è limitata da una costante $k$ che dipende da $x_1$ e $x_2$
Quindi $exists !$ soluzione su tutto $[x_1,x_2]$
Per l'arbitrarietà di $x_1$ e $x_2$ si ha che $exists !$ soluzione su tutto $\mathbb{R}$
Riguardo la monotonia $y'>0$ quindi tutte le soluzioni sono crescenti
Risposte
"Frink88":
è corretto dire che per mostrare la lipschitzianità mi basta che $\partial_y f(x,y) in \mathcal{C}(\mathbb{R}^2)$, cioè che f∈C1 rispetto a y?)
Sì. Basta notare che se è $C^1$ allora è per forza Lipschitziana, con costante di Lipschitz $L = \text{sup} |\partial_y f|$
Grazie, per la soluzione globale il ragionamento va bene?
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