Integrali di funzioni a codominio complesso
Premesso che non ho studiato analisi complessa, ho notato che la definizione di integrale e la sua relazione con la derivata si mantengono invariati se invece di pensare a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{R} \) si pensa a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{C} \) (purché si estanda implicitamente la definizione di limite a questo tipo di funzioni, cosa totalmente gratuita).
Dunque ciò che è cruciale è che il dominio continui a essere \(\displaystyle \mathbb{R} \). A questo punto mi chiedo, se voglio calcolare ad esempio questo integrale:
\(\displaystyle \int_{a}^b e^{ix} dx \)
posso sicuramente fare così:
\(\displaystyle \int_{a}^b \cos (x) dx + i\int_{a}^b \sin (x) dx \)
e concludere usando le primitive; ma se invece volessi fare questo:
\(\displaystyle \frac{1}{i} \int_{a}^b e^{ix} d(ix) \)
starei in un certo senso 'imbrogliando'? Poiché direi che con quella sostituzione sono implicitamente passato a una funzione che ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{C} \), e non più \(\displaystyle \mathbb{R} \), è così?
Dunque ciò che è cruciale è che il dominio continui a essere \(\displaystyle \mathbb{R} \). A questo punto mi chiedo, se voglio calcolare ad esempio questo integrale:
\(\displaystyle \int_{a}^b e^{ix} dx \)
posso sicuramente fare così:
\(\displaystyle \int_{a}^b \cos (x) dx + i\int_{a}^b \sin (x) dx \)
e concludere usando le primitive; ma se invece volessi fare questo:
\(\displaystyle \frac{1}{i} \int_{a}^b e^{ix} d(ix) \)
starei in un certo senso 'imbrogliando'? Poiché direi che con quella sostituzione sono implicitamente passato a una funzione che ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{C} \), e non più \(\displaystyle \mathbb{R} \), è così?
Risposte
In linea generale, ignorando per il momento la struttura algebrica su \(\mathbb C\), non ci sono grosse difficoltà a passare a considerare integrali di funzioni \(f \colon \mathbb R \to \mathbb R^n\) per qualsiasi \(n\) (il caso \(n = 2\) dei numeri complessi è a questo punto un caso particolare). Di fatto questi integrali si risolvono integrando separatamene ogni componente senza grosse difficoltà.
Il tuo "cambiamento di variabili" nell'ultimo esempio non ha in realtà alcun senso. Non puoi passare da integrare su un intervallo reale a un non ben specificato sottoinsieme di \(\mathbb C\). Non puoi moltiplicare e dividere per \(i\) in quel modo perché \(i\) NON è un numero reale... Stai trasformando l'integrale da un integrale nell'insieme reale a uno su di una curva (un segmento) in \(\mathbb C\). Il metodo corretto per farlo è prima di tutto scrivere \( z = i\,x \). Questa funzione avrà differenziale \( dz = i\,dx \). A questo punto sostituisci la tua nuova variabile nella funzione integranda: \(e^{i\,x} = e^{z}\). Avrai allora ottenuto l'integrale
\[ -i \int_\gamma e^z\,dz \]
dove \(\gamma\) è la curva lungo la quale stai integrando. Il problema principale di questo passaggio è che il normale metodo d'integrazione per questo tipo d'integrale consiste nel fare il passaggio esattamente opposto a quello che ho fatto ora...
Il tuo "cambiamento di variabili" nell'ultimo esempio non ha in realtà alcun senso. Non puoi passare da integrare su un intervallo reale a un non ben specificato sottoinsieme di \(\mathbb C\). Non puoi moltiplicare e dividere per \(i\) in quel modo perché \(i\) NON è un numero reale... Stai trasformando l'integrale da un integrale nell'insieme reale a uno su di una curva (un segmento) in \(\mathbb C\). Il metodo corretto per farlo è prima di tutto scrivere \( z = i\,x \). Questa funzione avrà differenziale \( dz = i\,dx \). A questo punto sostituisci la tua nuova variabile nella funzione integranda: \(e^{i\,x} = e^{z}\). Avrai allora ottenuto l'integrale
\[ -i \int_\gamma e^z\,dz \]
dove \(\gamma\) è la curva lungo la quale stai integrando. Il problema principale di questo passaggio è che il normale metodo d'integrazione per questo tipo d'integrale consiste nel fare il passaggio esattamente opposto a quello che ho fatto ora...
"Silent":
Premesso che non ho studiato analisi complessa, ho notato che la definizione di integrale e la sua relazione con la derivata si mantengono invariati se invece di pensare a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{R} \) si pensa a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{C} \) (purché si estanda implicitamente la definizione di limite a questo tipo di funzioni, cosa totalmente gratuita).
Dunque ciò che è cruciale è che il dominio continui a essere \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Mi ricordo che da studente ho passato molto tempo con riflessioni molto simili a questa, e che mi hanno fatto bene. Di sicuro ci sono ancora dei vecchi post miei su questo forum.
A questo punto mi chiedo, se voglio calcolare ad esempio questo integrale:
\(\displaystyle \int_{a}^b e^{ix} dx \)
posso sicuramente fare così:
\(\displaystyle \int_{a}^b \cos (x) dx + i\int_{a}^b \sin (x) dx \)
e concludere usando le primitive; ma se invece volessi fare questo:
\(\displaystyle \frac{1}{i} \int_{a}^b e^{ix} d(ix) \)
starei in un certo senso 'imbrogliando'? Poiché direi che con quella sostituzione sono implicitamente passato a una funzione che ha come dominio \(\displaystyle \mathbb{C} \), e non più \(\displaystyle \mathbb{R} \), è così?
Anche questa riflessione è stata importante per me. Mi ricordo che ne abbiamo parlato all’inizio del mio dottorato con il mio direttore. Lui preferiva passare sempre dal caso reale, proprio perché anche a lui sembrava che stessi “imbrogliando”, come dici tu. Mi sembrava una cretinata, perché quell’integrale si può interpretare come un integrale di linea in campo complesso, e quindi risolvere con il teorema fondamentale del calcolo integrale nel caso complesso. Ma poi mi sono accorto che il cretino ero io, perché con il mio approccio facilmente si cade nell’illusione che gli integrali a valori complessi abbiano tutte le proprietà degli integrali a valori reali, inclusi i teoremi della media. E questo è falsissimo. Proprio due settimane fa ho assistito a un seminario di Jim Wright dove partiva esattamente da questo fatto (https://arxiv.org/abs/2012.11256).
TL;DR: fai bene a interrogarti su queste cose.
Grazie ad entrambi 
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