Dimostrazione Teorema di Weirstrass

[damon123]

Buonasera a tutti,
sto cercando di capire ila dimostrazione del teorema di Weirstrass. Ho letto la dimostrazione del libro (Giusti) e non mi è chiaro l'ultimo passaggio.
La dimostrazione che riporta è:

"Dimostriamo che la funzione f ha massimo.
Sia M l'estremo superiore della funzione f in E, e sia LL. In particolare, se prendiamo L=M-1/n, troveremo una successione xn con M-1/ninf f(xn)=M.
Poiché E è compatto, dalla successione xn si può estrarre una sottosuccessione xkn convergente a un punto x0∈E. Per la continuità di f e per il teorema Ponte si ha allora
f(x0)=lim n->inf f(xkn)=M
e quindi x0 è il punto di massimo cercato."

quello che non mi è chiaro è come si è giunti a f(x0)=lim n->inf f(xkn)=M, ho capito che per la continuità e per il teorema ponte f(x0)=lim n->inf f(xkn), ma non capisco come si giunga a dire che questo è uguale a M.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie!

[mklplo751]

Se ho capito bene il tuo dubbio, il punto è questo: $f(x_n)$ è una successione convergente a $M$, e $f(x_(n_k))$ è una sua sottosuccessione e dunque per forza convergerà a $M$. Dunque tu hai $M= lim_(n->+oo) f(x_n)=lim_(k->+oo)f(x_(n_k))=f(lim_(k->+oo) x_(n_k))=f(x_0)$.
P.s: comunque mi sorprende che il libro non dimostri il fatto che se $f(E)$ non fosse superiormente limitato si arriverebbe a un assurdo.
P.s: se non ti dispiace, permettimi di darti un consiglio, anche se stai ai primi messaggi, ti conviene imparare a scrivere le formule (puoi anche usare la funzione "aggiungi formula" nell'editor completo), così che gli altri ti possano rispondere. Scusa se ti ho detto una cosa che già sapevi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"mklplo":
P.s: comunque mi sorprende che il libro non dimostri il fatto che se $ f(E) $ non fosse superiormente limitato si arriverebbe a un assurdo.

Stavo per rispondere la stessa cosa. Dovrebbe dimostrare che \( f(E) \) è superiormente limitato.
Puoi farlo tu sofia123: Hai che \(E\) è un compatto, se \(f\) non è limitata superiormente allora esiste una successione \( x_n \in E \) tale che \( \left| f(x_n) \right| \geq n \). Prova a passare per una sottosuccessione e giungere ad un assurdo.

[damon123]

"mklplo":Se ho capito bene il tuo dubbio, il punto è questo: $f(x_n)$ è una successione convergente a $M$, e $f(x_(n_k))$ è una sua sottosuccessione e dunque per forza convergerà a $M$. Dunque tu hai $M= lim_(n->+oo) f(x_n)=lim_(k->+oo)f(x_(n_k))=f(lim_(k->+oo) x_(n_k))=f(x_0)$.
P.s: comunque mi sorprende che il libro non dimostri il fatto che se $f(E)$ non fosse superiormente limitato si arriverebbe a un assurdo.
P.s: se non ti dispiace, permettimi di darti un consiglio, anche se stai ai primi messaggi, ti conviene imparare a scrivere le formule (puoi anche usare la funzione "aggiungi formula" nell'editor completo), così che gli altri ti possano rispondere. Scusa se ti ho detto una cosa che già sapevi.

perfetto, grazie milla ora vedo come funzionano le formule!

[mklplo751]

Prego.