Identità che non capisco
Premesso che la domanda è puramente matematica e non ha a che vedere con l'elettromagnetismo, fornisco comunque un pò di contesto. Studiando sul libro 'Antenna theory and design' di R.S.Elliott, pag. 22, mi trovo di fronte a questa espressione:
\(\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J} \)
dove \(\displaystyle \rho \) è la densità di carica, \(\displaystyle \mathbf{J} \) è la densità di corrente, \(\displaystyle \omega \) è la pulsazione, \(\displaystyle \epsilon_0,\mu_0 \) sono le costanti elettromagnetiche del vuoto e \(\displaystyle \psi = \frac{e^{-jk\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} \) (\(\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \) punto fissato).
Detto questo, cariche e correnti sono legati dall'equazione di continuità: \(\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{J}=-j\omega\rho \), che il mio libro afferma di utilizzare per passare dall'espressione di sopra, alla seguente:
\(\displaystyle \frac{1}{j\omega\epsilon_0}[(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi+k^2\psi \mathbf{J}] \)
dove \(\displaystyle k^2 =\omega^2\mu_0\epsilon_0 \).
Sto tentando di dimostrare questa cosa ma non ci riesco. In particolare, le due espressioni sono identiche se accade che: \(\displaystyle -(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi=(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi \). Se faccio i passaggi però ottengo che:
\(\displaystyle -(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi = -\sum_{j=1,2,3}\partial_jJ_j \sum_{i=1,2,3,}\mathbf{e}_i\partial_i\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}[\partial_j(J_j\partial_i\psi)-J_j\partial_i\partial_j\psi] = \)
\(\displaystyle=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) +\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}J_j\partial_i\partial_j\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) + (\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi\)
dunque a questo punto il primo addendo alla fine dovrebbe essere nullo, ma non capisco perché.
Qualcuno vede il motivo?
\(\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J} \)
dove \(\displaystyle \rho \) è la densità di carica, \(\displaystyle \mathbf{J} \) è la densità di corrente, \(\displaystyle \omega \) è la pulsazione, \(\displaystyle \epsilon_0,\mu_0 \) sono le costanti elettromagnetiche del vuoto e \(\displaystyle \psi = \frac{e^{-jk\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} \) (\(\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \) punto fissato).
Detto questo, cariche e correnti sono legati dall'equazione di continuità: \(\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{J}=-j\omega\rho \), che il mio libro afferma di utilizzare per passare dall'espressione di sopra, alla seguente:
\(\displaystyle \frac{1}{j\omega\epsilon_0}[(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi+k^2\psi \mathbf{J}] \)
dove \(\displaystyle k^2 =\omega^2\mu_0\epsilon_0 \).
Sto tentando di dimostrare questa cosa ma non ci riesco. In particolare, le due espressioni sono identiche se accade che: \(\displaystyle -(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi=(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi \). Se faccio i passaggi però ottengo che:
\(\displaystyle -(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi = -\sum_{j=1,2,3}\partial_jJ_j \sum_{i=1,2,3,}\mathbf{e}_i\partial_i\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}[\partial_j(J_j\partial_i\psi)-J_j\partial_i\partial_j\psi] = \)
\(\displaystyle=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) +\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}J_j\partial_i\partial_j\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) + (\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi\)
dunque a questo punto il primo addendo alla fine dovrebbe essere nullo, ma non capisco perché.
Qualcuno vede il motivo?
Risposte
Non so se può essere utile, ma questa espressione viene integrata in un volume generico e l'uguaglianza per cui è tra gli integrali.
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