Disuguaglianza lim e sup

[Twister_1]

Ciao a tutti,

stavo studiando il teorema del doppio limite e, nonostante penso sia un'osservazione banale, mi sfugge il perché di questa affermazione:

sup $| f_n(x)-f_m(x)|< \varepsilon \Rightarrow \lim_{x\rightarrow xo} |f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon$

Grazie mille a tutti

[Mephlip]

Dato $A \subset \mathbb{R}$, $A \ne \emptyset$, per definizione di estremo superiore si ha, per ogni $x \in A$, che
$$|f_n(x)-f_m(x)| \leq \sup_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)|$$
Dunque, se risulta anche che $\text{sup}_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon$, si ha la catena di disuguaglianze
$$|f_n(x)-f_m(x)| \leq \sup_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon \implies |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon$$
Passando al limite per $x \to x_0$ ambo i membri della disuguaglianza (ricordando che il limite mantiene le disuguaglianze non strette) ed accorgendosi che il membro di destra è indipendente da $x$, si ha
$$\lim_{x \to x_0} |f_n(x)-f_m(x)| \leq \varepsilon$$

[dissonance]

La domanda è mal posta, perché non è specificato su che insieme si prende il sup. Se, come pare intendere Mephlip, si intende che
\[\forall \epsilon>0, \sup_{x\in A}\lvert f_n(x)-f_m(x)\rvert <\epsilon, \]
significa che
\[f_n(x)=f_m(x),\qquad \forall x \in A.\]
Mi sembra una conclusione piuttosto esagerata, quindi di sicuro ci sono errori nella domanda.

[Mephlip]

Uh, vero. Neanche me ne ero accorto. Sì, forse è
$$\sup_{\text{ignoto}} |f_n(x)-f(x)|$$

"Mephlip":Neanche me ne ero accorto.