Domanda sul gradiente di una funzione

[fabiofrutti94]

Salve, se una funzione di classe C1 su tutto il piano, ammette un estremo in un punto $(x_0,y_0)$ della circonferenza di centro l'origine e raggio 1 perché esiste $l $ reale tale che $\nabla f(x_0,y_0)=2l(x_0,y_0)$?

[pilloeffe]

Ciao Fabio._94,

Mi pare semplicemente il gradiente della lagrangiana:

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y) $

ove nel caso in esame $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 $

Quindi $\nabla \mathcal{L}(x, y, \lambda) = \nabla f(x,y) - 2 \lambda (x, y) $ e dato che l'estremo vincolato di $f(x, y) $ corrisponde all'estremo libero di $ \mathcal{L} $, se esso è il punto $P_0 (x_0, y_0) $ in tale punto il primo membro è nullo e $\lambda = l $, per cui si ha:

$0 = \nabla \mathcal{L}(x_0, y_0, l) = \nabla f(x_0,y_0) - 2 l (x_0, y_0) \implies \nabla f(x_0, y_0) = 2 l (x_0, y_0) $