Domanda equazione differenziale
Ciao, cercando di rispondermi a un dubbio con il forum sono giunto a questa conversazione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8462980 , in particolare mi interessa capire di più riguardo a:
Ci sono in particolare alcuni passaggi che non ho ben capito:
1) Come giungere alla soluzione: $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $ non credo di conoscere il modo per farlo.
2) Come ridursi da $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
a $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
3) se $\zeta=0$ ho un numero complesso per $omega$ ma in generale la pulsazione non è complessa (mi ridurrei infatti a un oscillatore armonico ideale e l'omega ad argomento del seno non è complesso). Non mi torna qualcosa.
Ringrazio chi vorrà aiutarmi
"pilloeffe":
la soluzione dell'equazione differenziale seguente:
$\ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $
ove $\omega_n := \sqrt{k/m}$ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $
Si trova che la soluzione di tale equazione è la seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Ora se $c^2 < 4mk \implies \zeta^2 - 1 < 0 $ (il che accade anche nel caso particolare $\zeta = 0 $) la soluzione può essere scritta nella forma seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
dove si è posto $\omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $. Quest'ultima può anche scriversi nella forma seguente:
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
nella quale compaiono come costanti $A $ e $\phi $.
In generale tieni presente che nei fenomeni fisici se compaiono degli esponenziali devono tendere a $0 $ per $t \to +\infty $, altrimenti viene a mancare il significato fisico...
Ci sono in particolare alcuni passaggi che non ho ben capito:
1) Come giungere alla soluzione: $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $ non credo di conoscere il modo per farlo.
2) Come ridursi da $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
a $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
3) se $\zeta=0$ ho un numero complesso per $omega$ ma in generale la pulsazione non è complessa (mi ridurrei infatti a un oscillatore armonico ideale e l'omega ad argomento del seno non è complesso). Non mi torna qualcosa.
Ringrazio chi vorrà aiutarmi
Risposte
Ciao mat.pasc,
Beh, come si risolve un'equazione differenziale di secondo grado?
Facciamo qualche passo indietro:
$m\ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = 0 $
Dividendo tutto per $m > 0$ si ottiene:
$ \ddot{x}(t) + c/m \dot{x}(t) + k/m x(t) = 0 $
Posto $ \omega_n := \sqrt{k/m} > 0 $ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $ si trova proprio l'equazione differenziale che ho scritto:
$ \ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $
L'equazione caratteristica di tale equazione si ottiene facilmente ipotizzando una soluzione del tipo $e^{\lambda t}$:
$\lambda^2 + 2\zeta \omega_n \lambda + \omega_n^2 = 0 $
Questa è una semplice equazione di secondo grado che si può risolvere facilmente con la formula ridotta:
$\lambda_{1,2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 \omega_n^2 - \omega_n^2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n$
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
Se è positiva si hanno due soluzioni reali e distinte:
$\lambda_1 = - \zeta \omega_n + \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
$\lambda_2 = - \zeta \omega_n - \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
In tal caso la soluzione dell'equazione differenziale è la seguente:
$x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Quanto al resto prova a dare un'occhiata ad esempio qui.
"mat.pasc":
non credo di conoscere il modo per farlo.
Beh, come si risolve un'equazione differenziale di secondo grado?
Facciamo qualche passo indietro:
$m\ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = 0 $
Dividendo tutto per $m > 0$ si ottiene:
$ \ddot{x}(t) + c/m \dot{x}(t) + k/m x(t) = 0 $
Posto $ \omega_n := \sqrt{k/m} > 0 $ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $ si trova proprio l'equazione differenziale che ho scritto:
$ \ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $
L'equazione caratteristica di tale equazione si ottiene facilmente ipotizzando una soluzione del tipo $e^{\lambda t}$:
$\lambda^2 + 2\zeta \omega_n \lambda + \omega_n^2 = 0 $
Questa è una semplice equazione di secondo grado che si può risolvere facilmente con la formula ridotta:
$\lambda_{1,2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 \omega_n^2 - \omega_n^2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n$
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
Se è positiva si hanno due soluzioni reali e distinte:
$\lambda_1 = - \zeta \omega_n + \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
$\lambda_2 = - \zeta \omega_n - \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
In tal caso la soluzione dell'equazione differenziale è la seguente:
$x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Quanto al resto prova a dare un'occhiata ad esempio qui.
Molto molto chiaro, gentilissimo.
L'unico punto su cui mi incasino ancora è questo
omega con $\zeta=0$ mi sembra essere complesso.
L'unico punto su cui mi incasino ancora è questo
"mat.pasc":
3) se $\zeta=0$ ho un numero complesso per $omega$ ma in generale la pulsazione non è complessa (mi ridurrei infatti a un oscillatore armonico ideale e l'omega ad argomento del seno non è complesso). Non mi torna qualcosa.
omega con $\zeta=0$ mi sembra essere complesso.
"mat.pasc":
omega con $ \zeta = 0 $ mi sembra essere complesso.
No attenzione, si ha:
$ \omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $
Se $ \zeta = 0 implies \omega = \omega_n $, quello che diventa complesso è l'esponente degli esponenziali:
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
A questo punto, ricordando le formule di Eulero
$ e^{i \omega t} = cos(\omega t) + i sin(\omega t) $
$ e^{- i \omega t} = cos(\omega t) - i sin(\omega t) $
e seguendo il ragionamento del link che ti ho già inviato nel mio post precedente, dovresti riuscire a pervenire alla soluzione seguente:
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} [k_1 cos(\omega t) + k_2 sin(\omega t)] $
A questo punto, ponendo $k_1 := A sin\phi $ e $k_2 := A cos\phi $ e ricordando che $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin beta $, si ottiene facilmente proprio
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
nella quale compaiono come costanti $A$ e $\phi $ invece di $k_1 $ e $k_2$.
Perfetto, il resto è tutto chiaro, mi ero impantanato su questo
Non mi ero in effetti accorto che non avevi scritto
$ \omega^2 := \omega_n^2 (-1 + \zeta^2) $ e non mi tornava quella i, ora ho capito!
L'esponente era:
$\omega_n sqrt(-1 + \zeta^2) = \omega_n sqrt(+1 - \zeta^2) sqrt(-1)$
ecco come spuntava
Grazie ancora.
No attenzione, si ha:
$ \omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $
Non mi ero in effetti accorto che non avevi scritto
$ \omega^2 := \omega_n^2 (-1 + \zeta^2) $ e non mi tornava quella i, ora ho capito!
L'esponente era:
$\omega_n sqrt(-1 + \zeta^2) = \omega_n sqrt(+1 - \zeta^2) sqrt(-1)$
ecco come spuntava
Grazie ancora.
Ciao @mat.pasc e @pilloeffe !
Scusate se intervengo nel thread, ma l'ho trovato molto interessante e avrei una domanda. Dato che io sono stato abituato a dividere già le soluzioni per trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale (due soluzioni reali e distinte, coincidenti o complesse), avrei un dubbio su questo:
mi ritrovo che tale soluzione è sicuramente l'integrale generale nel caso $zeta^2-1>0$, ma, ad esempio, nel caso $zeta=1$, sostituendolo in quell'espressione, otterrei $x(t)=(c_1+c_2)e^(-omega_nt)=Ce^(-omega_nt)$ corrispondente ad una sola soluzione, senza avere la seconda soluzione linearmente indipendente, cioè senza giungere all'integrale generale $x(t)=(c_1+c_2t)e^(-omega_nt)$ al quale giungerei se dividessi le soluzioni del polinomio caratteristico. Dov'è che mi sto perdendo ?
Grazie !
Scusate se intervengo nel thread, ma l'ho trovato molto interessante e avrei una domanda. Dato che io sono stato abituato a dividere già le soluzioni per trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale (due soluzioni reali e distinte, coincidenti o complesse), avrei un dubbio su questo:
$ x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
mi ritrovo che tale soluzione è sicuramente l'integrale generale nel caso $zeta^2-1>0$, ma, ad esempio, nel caso $zeta=1$, sostituendolo in quell'espressione, otterrei $x(t)=(c_1+c_2)e^(-omega_nt)=Ce^(-omega_nt)$ corrispondente ad una sola soluzione, senza avere la seconda soluzione linearmente indipendente, cioè senza giungere all'integrale generale $x(t)=(c_1+c_2t)e^(-omega_nt)$ al quale giungerei se dividessi le soluzioni del polinomio caratteristico. Dov'è che mi sto perdendo ?
Grazie !
Ciao BayMax
Da nessuna parte...
In realtà quella scritta è la soluzione nel caso $\Delta > 0 $ nel quale si hanno due soluzioni reali e distinte dell'equazione caratteristica. La soluzione nel caso $Delta = 0 $ che hai citato non è stata proprio scritta, ma quella corretta è la seguente: $x(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-\zeta \omega_n t} $
Hai fatto bene a segnalarlo però, perché mi sono accorto che nella posizione in cui l'ho scritta la frase
sembra che sia riferita alla soluzione appena scritta, invece di essere relativa alla radice che compare nella soluzione dell'equazione caratteristica, ed è lì che avrei dovuto scriverla:
$ \lambda_{1,2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 \omega_n^2 - \omega_n^2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
Se è positiva si ha la soluzione seguente:
$ x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Se sono ancora in tempo ora modifico il post che così è più chiaro... Grazie!
"BayMax":
Dov'è che mi sto perdendo ?
Da nessuna parte...
In realtà quella scritta è la soluzione nel caso $\Delta > 0 $ nel quale si hanno due soluzioni reali e distinte dell'equazione caratteristica. La soluzione nel caso $Delta = 0 $ che hai citato non è stata proprio scritta, ma quella corretta è la seguente: $x(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-\zeta \omega_n t} $
Hai fatto bene a segnalarlo però, perché mi sono accorto che nella posizione in cui l'ho scritta la frase
"pilloeffe":
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
sembra che sia riferita alla soluzione appena scritta, invece di essere relativa alla radice che compare nella soluzione dell'equazione caratteristica, ed è lì che avrei dovuto scriverla:
$ \lambda_{1,2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 \omega_n^2 - \omega_n^2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
La quantità sotto radice può essere positiva, nulla o negativa.
Se è positiva si ha la soluzione seguente:
$ x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
Se sono ancora in tempo ora modifico il post che così è più chiaro... Grazie!
Perfetto ! Grazie davvero @pilloeffe ! Tutto chiaro ! .
Saluti
.Saluti
"BayMax":
Grazie davvero @pilloeffe ! Tutto chiaro !
Prego. In realtà però mi sono accorto che la questione oltre ad essere matematica è anche piuttosto pratica, per cui cercherò di essere ancora più chiaro, partendo dalle soluzioni dell'equazione caratteristica:
$ \lambda_{1,2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 \omega_n^2 - \omega_n^2} = - \zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n $
1° caso: $\Delta > 0 \iff \zeta^2 - 1 > 0 $:
In tal caso l'equazione caratteristica ha due soluzioni reali e distinte e la soluzione dell'equazione differenziale è quella che abbiamo già visto:
$ x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $
ove $\omega_n $ è la pulsazione naturale o propria del sistema non smorzato, $\zeta $ è il fattore di smorzamento. Gli esponenti che compaiono nella soluzione sono reali, il corpo si muove di moto aperiodico smorzato:
$\lim_{t \to +\infty} x(t) = 0 $
2° caso: $\Delta = 0 \iff \zeta^2 - 1 = 0 $:
In tal caso l'equazione caratteristica ha due soluzioni reali e coincidenti e la soluzione dell'equazione differenziale è la seguente:
$ x(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-\zeta \omega_n t} $
Questa è una condizione di separazione fra i due casi $\Delta > 0 $ e $\Delta < 0 $ che da un punto di vista pratico ha scarso interesse.
3° caso: $\Delta < 0 \iff \zeta^2 - 1 < 0 $:
In tal caso le soluzioni dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate e la soluzione dell'equazione differenziale si può scrivere nella forma seguente:
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{- i \omega t}) $
ove si è posto $ \omega^2 := \omega_n^2 (1 - \zeta^2) $. Come si è visto, tale soluzione si può scrivere nella forma seguente:
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} A sin(\omega t + \phi) $
nella quale compaiono come costanti $A $ e $\phi $. In tal caso il corpo si muove di moto oscillatorio smorzato: l'ampiezza dell'oscillazione tende a zero per $t \to +\infty$
La costante $A$ è denominata ampiezza, la costante $\phi $ è denominata fase, mentre $\omega $ è la pulsazione dell'oscillazione smorzata, infatti è spesso indicata anche con $\omega_s $
Se [tex]\zeta^2 \ll 1[/tex], la pulsazione dell'oscillazione smorzata $\omega $ risulta molto vicina alla pulsazione naturale $\omega_n$ del sistema oscillante non smorzato. Questa condizione è soddisfatta in diversi sistemi meccanici: infatti spesso manca un vero e proprio smorzatore e lo smorzamento delle oscillazioni è dovuto unicamente agli attriti interni (smorzamento interno) del materiale ed alla resistenza del mezzo all'interno del quale il corpo si muove.
Che dire, trattazione chiarissima e concisa. L'avessi avuta a suo tempo quando ho iniziato a trattare le vibrazioni avrei penato sicuramente meno . Grazie ancora @pilloeffe per la disponibilità e precisione nelle risposte.
Saluti
. Grazie ancora @pilloeffe per la disponibilità e precisione nelle risposte.Saluti
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