Due serie "famose"?
Salve a tutti,
Stavo risolvendo un problema di elettrodinamica quando sono incappato in due serie infinite abbastanza curioso. Il problema sarebbe un solenoide infinito in cui scorre una corrente \(\displaystyle I(t)=I_0e^{i\omega t} \), ma la cosa davvero interessante sono le soluzioni che ottengo per i campi elettromagnetici, in coordinate cilindriche:
\(\displaystyle \vec{E}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}{E}_{2k+1}\hat{\phi} \) e \(\displaystyle \vec{B}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\vec{B}_{2k} \hat{z}\)
Con (scusate l'orribile resa grafica!)
\(\displaystyle E_{2k+1}(r,t)=(-\frac{1}{2})^{k+1} \frac{ ( \frac{\omega i r}{c} )^{2k+1} }{ (2k)!! } c\mu_0 n I_0 e^{i \omega t} \)
e
\(\displaystyle B_{2k}(r,t)=(-\frac{1}{2})^{k} \frac{ ( \frac{\omega i r}{c} )^{2k} }{ (2k)!! } \mu_0 n I_0 e^{i \omega t} \)
La mia domanda era: qualcuno riconosce quanto valgono queste serie, in termini di funzioni speciali? Un simile problema (a simmetria cilindrica), trovato in Feynmann, aveva come soluzione per il campo elettrico la funzione di Bessel $J_0$
Stavo risolvendo un problema di elettrodinamica quando sono incappato in due serie infinite abbastanza curioso. Il problema sarebbe un solenoide infinito in cui scorre una corrente \(\displaystyle I(t)=I_0e^{i\omega t} \), ma la cosa davvero interessante sono le soluzioni che ottengo per i campi elettromagnetici, in coordinate cilindriche:
\(\displaystyle \vec{E}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}{E}_{2k+1}\hat{\phi} \) e \(\displaystyle \vec{B}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\vec{B}_{2k} \hat{z}\)
Con (scusate l'orribile resa grafica!)
\(\displaystyle E_{2k+1}(r,t)=(-\frac{1}{2})^{k+1} \frac{ ( \frac{\omega i r}{c} )^{2k+1} }{ (2k)!! } c\mu_0 n I_0 e^{i \omega t} \)
e
\(\displaystyle B_{2k}(r,t)=(-\frac{1}{2})^{k} \frac{ ( \frac{\omega i r}{c} )^{2k} }{ (2k)!! } \mu_0 n I_0 e^{i \omega t} \)
La mia domanda era: qualcuno riconosce quanto valgono queste serie, in termini di funzioni speciali? Un simile problema (a simmetria cilindrica), trovato in Feynmann, aveva come soluzione per il campo elettrico la funzione di Bessel $J_0$
Risposte
Prova a controllare gli sviluppi in serie delle funzioni speciali che trovi su dlmf.nist.gov... O fatti sommare le serie da WolframAlpha. 
Ciao sphyr,
Cominciamo con quella del campo elettrico, l'altra poi è analoga.
Posto per comodità $x := (\omega i r)/c $, la prima serie è la seguente:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty}(-\frac{1}{2})^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{2^{k + 1}(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{2^{k + 1} 2^k k!} = $
$ = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{(x/2)^{2k+1}}{k!} = - x/2 \cdot \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(- x^2/4)^k}{k!} = - x/2 e^{- x^2/4}$
Per il campo magnetico invece la serie è la seguente:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty}(-\frac{1}{2})^k \frac{x^{2k}}{(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2^k (2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2^k 2^k k!} = $
$ = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{(x/2)^{2k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(- x^2/4)^k}{k!} = e^{- x^2/4} $
Cominciamo con quella del campo elettrico, l'altra poi è analoga.
Posto per comodità $x := (\omega i r)/c $, la prima serie è la seguente:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty}(-\frac{1}{2})^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{2^{k + 1}(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{2^{k + 1} 2^k k!} = $
$ = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{(x/2)^{2k+1}}{k!} = - x/2 \cdot \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(- x^2/4)^k}{k!} = - x/2 e^{- x^2/4}$
Per il campo magnetico invece la serie è la seguente:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty}(-\frac{1}{2})^k \frac{x^{2k}}{(2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2^k (2k)!!} = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2^k 2^k k!} = $
$ = \sum_{k = 0}^{+\infty}(-1)^k \frac{(x/2)^{2k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(- x^2/4)^k}{k!} = e^{- x^2/4} $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo