Analisi matematica di base
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Svolgendo un esercizio sulla differenziabilità mi ritrovo a calcolare
\[
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0} \frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}(x^{6}+y^{2})^{\alpha}}
\]
con $\alpha>0$. Mi verrebbe che è nullo se $\alpha<1$ ma non riesco a provare che se $\alpha>1$ il limite non esiste. Propongo due strade che ho seguito
1) Ricordando che $\forall x,y\in\mathbb{R}$ si ha $ (x^{2}+y^{6})^{\alpha}\le x^{2\alpha}+y^{6\alpha} $ e usando l'equivalenza delle norme ...
Ciao a tutti,
se ho un dominio compatto so che una funzione su quel dominio ammette massimo e minimo. Posso allora procedere attraverso i moltiplicatori di Lagrange. Se però questo dominio è descritto da più equazioni, come in questo caso dell'immagine,
posso fare tre sistemi differenti, ognuno per una delle tre equazioni, controllando alla fine che il punto appartenga al dominio? A logica io avevo proceduto così, però c'è da tenere in considerazione che le equazioni prese ...
Ultimamente mi è venuta voglia di ristudiarmi qualcosina sulle serie, e avevo pensato a studiarmi due risultati di cui ho sentito parlare ma non ho mai studiato.
I due risultati riguardano i prodotti secondo Cauchy per le serie e dicono che il prodotto di una serie convergente per una assolutamente convergente è convergente, l'altro che il prodotto di due serie convergenti è sommabile secondo Cesàro (ne esiste un altro simile che dice che prodotto di serie assolutamente convergenti è ...
Stabilire per quali a esiste una costante M(a) con a reale positivo tale che valga la seguente disuguaglianza, per x,y positivi (anche nulli):
$ x^3y<= M(a) (2x^4+y^4) $
Buongiorno , ho un dubbio : ho questa funzione
$\{(3+\alpha/(x-1)),(x/(x^2-2)^(1/3)),(0):}$
la prima definita in $x in[0,1)$ la seconda $x in(1,4],x!=sqrt(2)$ e $f(x)=0 hArr x=sqrt(2)$
mi dice per quali alpha esiste $\int_0^4f(x)dx$
ma $x/(x^2-2)^(1/3)$ non è definita in 1! Non esiste proprio, com'è possibile?
Stai preparando Analisi 1 ma non riesci a trovare esercizi stimolanti? Hai dato Analisi 1 tempo fa ma ti piace fare esercizi di Analisi 1 non proprio standard nel tempo libero?
Ecco quello che fa per te!
Sia $f:[1,+\infty)\to[1,+\infty)$ definita da $f(x)=x^5-x+1$.
Verificate che è una funzione biunivoca e considerate l'inversa denotandola $g$.
Calcolate dunque $\int_1^(6+sqrt20)g(x)dx$.
$ lim_(x -> 0) ((1-cos5x)tan3x)/(sinx-x^3)^3= [0/0]f.i $
applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (5sen(5x)1/(cos^(2)3x))/(3(sinx-x^3)cosx-3x^2)= [0/0]f.i $
adesso applicando nuovamente Hopital no so come andare avanti
Grazie a tutti
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a risolvere questo problema?
Per quali valori di a e b appartenenti ad R converge l’integrale:
Io ho sostituito (1-x)=t ottenendo:
Ho portato (1-t)^a al denominatore e ottenuto che per a=0 e b≠0 l’integrale converge, in un intorno di 0 e 1, se b-1; se a=0 e b=0 l’integrale converge solo in un intorno di 0.
Non sono sicura di aver ...
Salve a tutti , provando a risolvere questa serie, ottengo come risultato la convergenza, quando in realtà la serie dovrebbe divergere.
Ho applicato il criterio del rapporto ma ottengo come risultato e^-infinito cioè 0. Essendo minore di 1 converge ma deve divergere.Helpp
Buongiorno ragazzi, ho dei problemi con questa equazione:
$ y'=y/x-\sqrt(1-y^2/x^2) $
Io ho fatto così:
$ y'=y/x-\sqrt((x^2-y^2)/x^2)=y/x-1/x\sqrt(x^2-y^2)=y/x-\sqrt(x^2-y^2)/x=(y-\sqrt(x^2-y^2))/x $
Essendo i due polinomi di primo grado si tratta di una eq. omogenea, per cui pongo $y=xz$ e $y'=z+xz'$:
$ z+xz'=(xz-\sqrt(x^2-x^2z^2))/x=(xz-x\sqrt(1-z))/x=z-\sqrt(1-z)rArr-int(dz)/(\sqrt(1-z))=\int1/xdx $
Per il primo integrale pongo $\sqrt(1-z)=trArrdz=-2tdt$, e quindi $-int(dz)/(\sqrt(1-z))=2\intdt=2t=2\sqrt(1-z)$.
Siccome il secondo integrale è $logx+c$, ottengo $2\sqrt(1-z)=logx+crArry=x-1/4x(logx+c)^2$. Tuttavia la soluzione del testo è $y=xsinlog(1/(cx))$. Non riesco a capire dove sbaglio, ...
Salve a tutti, mi sono imbattuto in un equazione differenziale in cui la soluzione è la somma di funzioni periodiche, 2 sono periodiche di periodo \(\displaystyle \sqrt(2)\pi \) mentre le altre di periodo \(\displaystyle \pi \). Ovvero nella forma :
\(\displaystyle c1*\sin(\sqrt(2)\pi) + c2*\cos(\sqrt(2)\pi) + A\sin(2x) + B\cos(2x) \)
**dove c1, c2, A, B sono numeri reali
Le prime 2 a partire da sinistra :
\(\displaystyle c1*\sin(\sqrt(2)\pi) + c2*\cos(\sqrt(2)\pi) + A\sin(2x) + ...
Salve a tutti ragazzi, sto preparando l'esame di Analisi 2 e, nonostante io abbia già consultato diverse fonti, ho ancora difficoltà nella dimostrazione dell'esistenza di un limite di funzione in due variabili tramite la definizione stessa.
Per quanto riguarda gli esercizi tipici riesco facilmente a costruire una catena di disuguaglianze, trovando una relazione tra epsilon e delta, ma con altri non immediati non riesco proprio.
In particolare in questo esercizio:
$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) $
Approccio ...
Ciao a tutti ragazzi e buona domenica, oggi vi propongo uno studio qualitativo. Dal momento che sto sforzandomi di applicare la teoria alla pratica vorrei capire se i miei ragionamenti sono giusti o sbagliati. Questo è l'esercizio:
Provare che il problema di Cauchy:
$ { ( y' = 1+cosy+t^2 ),( y(0) =0 ):} $
ammette un'unica soluzione $ varphi $ definita su tutto $ RR $ .
Quindi:
i) Provare che $ varphi $ è dispari.
ii) Dire se esiste $ lim_(x -> +oo) varphi(t) $ , in caso affermativo, ...
Ciao a tutti Devo fare questo limite, qualcuno sa come si risolve? $\lim_{x \to \0}(ln(1+x^2)+cos(x)-e^(x^2))/(2x sin(x)-x^2 cos(x))$
Ciao, vorrei dimostrare questo teorema
Posso fare semplicemente così: (?)
1) prendo una successione $h_n -> 0 $ piccola a sufficienza tale che $x_0 + h_n \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $
2) $u(x_0) - u(x_0 + h_n) = \int_{\Omega} u(x_0, y) dy - \int_{\Omega} u(x_0 + h_n, y) dy = \int_{\Omega} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy$
3) Faccio il limite
$lim_{n->+\infty} u(x_0) - u(x_0 + h_n) = lim_{n->+\infty} \int_{\Omega} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy$
4) Applico il teorema della convergenza dominata (perché le condizioni ci sono per ipotesi) e quindi posso scambiare limite e integrale:
$ ... = \int_{\Omega} lim_{n->+\infty} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy = 0$
Fine ?
Grazie a chi a voglia di controllare
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (tanx-x)/x^3 $
osservo che ho una forma indeterminata del tipo$ [0/0]$
applico Hopital
derivate:
tan(x) =1/cos^2(x)
x=1
x^3=3x^2 $ lim_(x -> 0) (1/(cos^2x)-1)/(3x^2)=[0/0] f.i $
applico nuovamente Hopital
$ lim_(x -> 0) (2tan(x)1/cos^2x-0)/(6x)= [0/0] f.i $
applico per la terza volta Hopital ed ottengo:
$ lim_(x -> 0) (2/cos^2x2tan(x)1/(cos^2x))/(6)= (2*0*1)/6 $
il risultato ottenuto non è coretto ma deve essere 1/3
mi date una mano a capire quale errore ho commesso?
Grazie a tutti per il vostro aiuto
Ciao a tutti, vi propongo lo studio della convergenza puntuale e uniforme della seguente serie:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $
Ho provato a svolgere in questo modo:
Notiamo per prima cosa che $AAn>=1$ le $ f_n(x) $ sono funzioni definite in tutto $RR$, cioè $ f_n: I ->RR$ dove $I=RR$. Definendo $a_n=(x^2+n)/n^2$, si nota subito che $AAn>=1$, $a_n(x)$ è una successione di funzioni a valori non negativi. Questo ci permette di osservare che il ...
Ciao a tutti!
Non mi è chiaro come si deduce il teorema fondamentale del calcolo integrale dal teorema della divergenza.
Io so che
\(\displaystyle \int_{\Omega} divF = \int_{\partial\Omega^+} ds\)
In dimensione 1 abbiamo che F è scalare; \(\displaystyle \Omega=(a,b) \) è intervallo e la normale n vale +1 supponendo f crescente; \(\displaystyle \partial\Omega=\{a,b\} \) intesa come frontiera dell'intervallo. Fin qui mi sembra tutto chiaro.
Ora parametrizzo l'intervallo con ...
Buongiorno,
Nel seguente esercizio c'è un termine di cui non ci hanno dato la definizione e non l'ho trovata su internet.
Fornire un esempio di una funzione finita su tutto \( \mathbb{R} \) ma che non è localmente limitata da nessuna parte.
L'esempio fornito è il seguente:
\( f(x) = \left\{\begin{matrix}
n & \text{se}\ x= \frac{m}{n} & \operatorname{MCD}(m,n)=1,\ n>0\\
0 & \text{se}\ x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}
\end{matrix}\right. \)
Se \(f \) limitata in un intorno \( U_{\delta}(x):= \{ y ...
1
Studente Anonimo
3 gen 2019, 16:01
$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^x$
ma questo limiti è risolvibile in questo modo
$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^((2x)*(1/2))=sqrt(1/e)$
invece ho molti più problemi con quest altro
$lim_(xto+infty)(e^(x^2)-cosx-x^2)/tanx^4$
per questo limite non posso applicare ne limiti notevoli ne sviluppi di taylor perchè la x non converge a zero.
sostituzioni non me ne vengono in mente...non so che fare
grazie
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