Studio qualitativo di un'equazione differenziale
Ciao a tutti ragazzi e buona domenica, oggi vi propongo uno studio qualitativo. Dal momento che sto sforzandomi di applicare la teoria alla pratica vorrei capire se i miei ragionamenti sono giusti o sbagliati. Questo è l'esercizio:
Provare che il problema di Cauchy:
$ { ( y' = 1+cosy+t^2 ),( y(0) =0 ):} $
ammette un'unica soluzione $ varphi $ definita su tutto $ RR $ .
Quindi:
i) Provare che $ varphi $ è dispari.
ii) Dire se esiste $ lim_(x -> +oo) varphi(t) $ , in caso affermativo, calcolarlo.
Ho provato a svolgere in questo modo:
Affinchè il P.d.C. ammetta soluzione, dobbiamo verificare le due condizioni che $ f(t,y) $ sia una funzione continua nel proprio insieme di definizione e che $ (partial f)/(partial y) (t,y) $ sia continua . Queste due condizioni sono verificate perchè $ f(t,y) $ è una funzione di classe $ C^oo $ in $ RR ^2 $, mentre $ (partial f)/(partial y) (t,y) = -sen (y) $ è continua in tutto $ RR^2 $. Di conseguenza possiamo concludere affermando che l'esistenza e l'unicità locale della soluzione nel punto $ t =0 $ è verificata. Possiamo però notare che siccome $ (partial f)/(partial y) (t,y) = -sen (y) $ è una funzione limitata, cioè $ EE L>0 $ t.c $ |(partial f)/(partial y) (t,y) |<= L $ $ AA (t,y) in RR^2 $ dove in questo caso $ L = 1 $ , allora possiamo applicare il teorema di esistenza e unicità globale concludendo che il p.d.C. ammette soluzione unica definita globalmente in tutto $ RR$.
Questa prima parte di ragionamento come vi sembra? Grazie in anticipo!
Provare che il problema di Cauchy:
$ { ( y' = 1+cosy+t^2 ),( y(0) =0 ):} $
ammette un'unica soluzione $ varphi $ definita su tutto $ RR $ .
Quindi:
i) Provare che $ varphi $ è dispari.
ii) Dire se esiste $ lim_(x -> +oo) varphi(t) $ , in caso affermativo, calcolarlo.
Ho provato a svolgere in questo modo:
Affinchè il P.d.C. ammetta soluzione, dobbiamo verificare le due condizioni che $ f(t,y) $ sia una funzione continua nel proprio insieme di definizione e che $ (partial f)/(partial y) (t,y) $ sia continua . Queste due condizioni sono verificate perchè $ f(t,y) $ è una funzione di classe $ C^oo $ in $ RR ^2 $, mentre $ (partial f)/(partial y) (t,y) = -sen (y) $ è continua in tutto $ RR^2 $. Di conseguenza possiamo concludere affermando che l'esistenza e l'unicità locale della soluzione nel punto $ t =0 $ è verificata. Possiamo però notare che siccome $ (partial f)/(partial y) (t,y) = -sen (y) $ è una funzione limitata, cioè $ EE L>0 $ t.c $ |(partial f)/(partial y) (t,y) |<= L $ $ AA (t,y) in RR^2 $ dove in questo caso $ L = 1 $ , allora possiamo applicare il teorema di esistenza e unicità globale concludendo che il p.d.C. ammette soluzione unica definita globalmente in tutto $ RR$.
Questa prima parte di ragionamento come vi sembra? Grazie in anticipo!
Risposte
In realtà non ti serve che $(partial f)/(partial y) (t,y)$ sia continua, ti basta che sia limitata, come dici dopo. Il resto va bene.
"otta96":
In realtà non ti serve che $(partial f)/(partial y) (t,y)$ sia continua, ti basta che sia limitata, come dici dopo. Il resto va bene.
Quella condizione mi serviva per soddisfare la condizione per l'applicazione del teorema di esistenza ed unicità locale intorno a $ t=0 $ . Poi dopo ho aggiunto che siccome è limitata possiamo anche applicare il teorema di unicità globale.
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Comunque per quanto riguarda il primo punto ho trovato un po' di difficoltà perchè secondo il mio ragionamento, per dimostrare che la soluzione è dispari bisogna verificare che:
$ y'(-t) = -y'(t) $
Da cui ottengo:
$ 1+cos(y(-t))+t^2=-1-cos(y(t))-t^2 $
Da qui non saprei come procedere.
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Per l'ultimo punto ho pensato di considerare il criterio dell'asintoto. A questo punto ho:
$ varphi :[bar(t), +oo[rarr RR $ sicuramente derivabile (per come è definito il problema), dove in questo caso $ bar(t) = 0 $ (giusto?)
allora siccome il:
$ lim_(t -> +oo) y'(t) =lim_(t -> +oo) (1+cos y +t^2) $ tende a più infinito (dal momento che $ cosy $ è limitata)
sicuramente il:
$ lim_(t -> +oo) varphi (t) $ NON esiste finito.
Lo stesso vale per $t$ tendente a $-oo$.
Non sono sicuro se tutto ciò è giusto ma credo proprio di no, sopratutto per lo studio della disparità. Mi affido a voi ragazzi!
"Keyzan":
Comunque per quanto riguarda il primo punto ho trovato un po' di difficoltà perchè secondo il mio ragionamento, per dimostrare che la soluzione è dispari bisogna verificare che:
$ y'(-t) = -y'(t) $
No devi controllare $\varphi(-x)=-\varphi(x)$.
Per l'ultimo punto ho pensato di considerare il criterio dell'asintoto. A questo punto ho:
$ varphi :[bar(t), +oo[rarr RR $ sicuramente derivabile (per come è definito il problema), dove in questo caso $ bar(t) = 0 $ (giusto?)
allora siccome il:
$ lim_(t -> +oo) y'(t) =lim_(t -> +oo) (1+cos y +t^2) $ tende a più infinito (dal momento che $ cosy $ è limitata)
sicuramente il:
$ lim_(t -> +oo) varphi (t) $ NON esiste finito.
Il testo non specifica che deve essere finito, quindi non hai risposto completamente.
"otta96":
No devi controllare $\varphi(-x)=-\varphi(x)$.
Ok, ci provo. Dico che vale $\varphi(-x)=-\varphi(x)$. La soluzione $\varphi(x)$ deve soddisfare il P.d.C. precedentemente esposto. Quindi deve essere $\varphi'(x) = 1+ cos(\varphi'(x)) +x^2$. A questo punto considero: $\varphi'(-x) = 1+ cos(\varphi(-x)) +(-x)^2$. Siccome ho supposto vera $\varphi(-x)=-\varphi(x)$, allora si ha $\varphi'(-x) = 1+ cos(-\varphi(x)) +x^2$. Ma sappiamo che in generale $cosx = cos(-x)$, di conseguenza $\varphi'(-x) = 1+ cos(\varphi(x)) +x^2$. Quindi in teoria ho trovato che $\varphi'(x)=\varphi'(-x)$, ma non so proprio come concludere.
"otta96":
Il testo non specifica che deve essere finito, quindi non hai risposto completamente.
Ah è vero, quindi devo dire che siccome esiste il limite ma non è finito, per $x->+oo$ sarà per forza uguale a $+oo$, mentre per $x->-oo$ sarà uguale a $-oo$, giusto?
"Keyzan":
Siccome ho supposto vera $\varphi(-x)=-\varphi(x)$
Ma questo non puoi farlo, piuttosto prova a dimostrare che se $\varphi$ è soluzione, allora anche $-\varphi(-x)$ lo è, da cui...
Ah è vero, quindi devo dire che siccome esiste il limite ma non è finito, per $x->+oo$ sarà per forza uguale a $+oo$, mentre per $x->-oo$ sarà uguale a $-oo$, giusto?
Esatto.
"otta96":
[quote="Keyzan"]Siccome ho supposto vera $\varphi(-x)=-\varphi(x)$
Ma questo non puoi farlo, piuttosto prova a dimostrare che se $\varphi$ è soluzione, allora anche $-\varphi(-x)$ lo è, da cui...[/quote]
Quindi, se $\varphi$ è soluzione, proviamo a vedere se lo è anche $-\varphi(-x)$.
$y'(x)=1+cos(-\varphi(-x))+x^2$. Per le proprietà del coseno si ha:
$y'(x)=1+cos(\varphi(-x))+x^2$ e in più si verifica la condizione di Cauchy: $-\varphi(-0)=-0 -> \varphi(0)=0$.
Quindi si conclude che anche $-\varphi(-x)$ è soluzione del problema di Cauchy, di conseguenza la soluzione è dispari.
In questo modo?
Ma al posto di $y'$ ci devi mettere la derivata!
Dato che la derivata di $-\varphi(-x)$ è $\varphi(-x)$ hai da controllare se è verificata l'uguaglianza $\varphi(-x)=1+cos(-\varphi(-x))+x^2$, che è verificata perché il coseno è pari e $\varphi$ è soluzione. Quindi anche $-\varphi(-x)$ è soluzione, ma dato che la soluzione è unica hai che $\varphi(x)=-\varphi(-x)AAx\inRR$ e quindi $\varphi$ è dispari.
Dato che la derivata di $-\varphi(-x)$ è $\varphi(-x)$ hai da controllare se è verificata l'uguaglianza $\varphi(-x)=1+cos(-\varphi(-x))+x^2$, che è verificata perché il coseno è pari e $\varphi$ è soluzione. Quindi anche $-\varphi(-x)$ è soluzione, ma dato che la soluzione è unica hai che $\varphi(x)=-\varphi(-x)AAx\inRR$ e quindi $\varphi$ è dispari.
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