Esistenza limite di funzione in due variabili
Salve a tutti ragazzi, sto preparando l'esame di Analisi 2 e, nonostante io abbia già consultato diverse fonti, ho ancora difficoltà nella dimostrazione dell'esistenza di un limite di funzione in due variabili tramite la definizione stessa.
Per quanto riguarda gli esercizi tipici riesco facilmente a costruire una catena di disuguaglianze, trovando una relazione tra epsilon e delta, ma con altri non immediati non riesco proprio.
In particolare in questo esercizio:
$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) $
Approccio il limite in diversi modi:
$x=0 rArr lim_(y -> 0) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) = lim_(y-> 0) y^2/y^2 = 1$
Allora il limite o è 1 oppure non esiste. Provo in altri modi:
$y=0 rArr lim_(x -> 0) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) = lim_(x-> 0) x^2/x^2 = 1$
$y=mx rArr lim_(x -> 0) (x^2 + m^2x^2 -3x^6m^3)/(x^2 + m^2x^2) = lim_(x-> 0) [x^2(1 + m^2 -3x^4m^3)]/[x^2(1 + m^2)] = (1+m^2)/(1+m^2) = 1$
A questo punto provo a dimostrare che il limite sia davvero 1 tramite la definizione:
$$\left | \frac{x^2 + y^2 - 3x^3y^3}{x^2+y^2} -1 \right | < \varepsilon \hspace{10 mm} \sqrt{x^2 + y^2}<\delta $$
$$\left | \frac{x^2 + y^2 - 3x^3y^3}{x^2+y^2} -1 \right | =\left | \frac{-3x^3y^3}{x^2+y^2}\right | = \left | \frac{x^2}{x^2+y^2}(-3xy^3)\right | \leq 3\left | xy \right |y^2 \leq \hspace{3 mm} ?$$
A questo punto mi fermo perché non riesco a maggiorare con qualcosa riconducibile a $<=sqrt(x^2+y^2)$
ps: controllando su tool come Wolfram il limite è appunto 1, ma non riesco a dimostrarlo.
Grazie mille in anticipo!
Per quanto riguarda gli esercizi tipici riesco facilmente a costruire una catena di disuguaglianze, trovando una relazione tra epsilon e delta, ma con altri non immediati non riesco proprio.
In particolare in questo esercizio:
$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) $
Approccio il limite in diversi modi:
$x=0 rArr lim_(y -> 0) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) = lim_(y-> 0) y^2/y^2 = 1$
Allora il limite o è 1 oppure non esiste. Provo in altri modi:
$y=0 rArr lim_(x -> 0) (x^2 + y^2 -3x^3y^3)/(x^2 + y^2) = lim_(x-> 0) x^2/x^2 = 1$
$y=mx rArr lim_(x -> 0) (x^2 + m^2x^2 -3x^6m^3)/(x^2 + m^2x^2) = lim_(x-> 0) [x^2(1 + m^2 -3x^4m^3)]/[x^2(1 + m^2)] = (1+m^2)/(1+m^2) = 1$
A questo punto provo a dimostrare che il limite sia davvero 1 tramite la definizione:
$$\left | \frac{x^2 + y^2 - 3x^3y^3}{x^2+y^2} -1 \right | < \varepsilon \hspace{10 mm} \sqrt{x^2 + y^2}<\delta $$
$$\left | \frac{x^2 + y^2 - 3x^3y^3}{x^2+y^2} -1 \right | =\left | \frac{-3x^3y^3}{x^2+y^2}\right | = \left | \frac{x^2}{x^2+y^2}(-3xy^3)\right | \leq 3\left | xy \right |y^2 \leq \hspace{3 mm} ?$$
A questo punto mi fermo perché non riesco a maggiorare con qualcosa riconducibile a $<=sqrt(x^2+y^2)$
ps: controllando su tool come Wolfram il limite è appunto 1, ma non riesco a dimostrarlo.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
A parte la definizione, esistono i teoremi. In particolare, il teorema dei carabinieri è utile.
Ho riflettuto e credo di aver trovato la soluzione. Sperando di non aver scritto cavolate:
notando che $$\left | xy\right| \leq x^2 + y^2$$ ed inoltre $$y^2 \leq x^2 + y^2$$ allora posso scrivere che:
$$3\left | xy \right |y^2 \leq 3(x^2+y^2)(x^2+y^2) = 3(x^2+y^2)^2 \leq \delta$$
da qui mi riconduco alla disuguaglianza $$\sqrt{x^2+y^2}\leq \delta $$ cercando di ottenere il membro di sinistra uguale a $$\sqrt{x^2+y^2}$$
quindi noto che facendo la radice quarta di entrambi i membri ho che:
$$\sqrt[4]{3(x^2+y^2)^2}= \sqrt[4]{3}(x^2+y^2)^{2/4} = \sqrt[4]{3}\sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt[4]{\varepsilon}\Rightarrow \dots \leq \frac{\sqrt[4]{\varepsilon}}{\sqrt[4]{3}} = \sqrt[4]{\frac{\varepsilon}{3}}$$
notando che $$\left | xy\right| \leq x^2 + y^2$$ ed inoltre $$y^2 \leq x^2 + y^2$$ allora posso scrivere che:
$$3\left | xy \right |y^2 \leq 3(x^2+y^2)(x^2+y^2) = 3(x^2+y^2)^2 \leq \delta$$
da qui mi riconduco alla disuguaglianza $$\sqrt{x^2+y^2}\leq \delta $$ cercando di ottenere il membro di sinistra uguale a $$\sqrt{x^2+y^2}$$
quindi noto che facendo la radice quarta di entrambi i membri ho che:
$$\sqrt[4]{3(x^2+y^2)^2}= \sqrt[4]{3}(x^2+y^2)^{2/4} = \sqrt[4]{3}\sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt[4]{\varepsilon}\Rightarrow \dots \leq \frac{\sqrt[4]{\varepsilon}}{\sqrt[4]{3}} = \sqrt[4]{\frac{\varepsilon}{3}}$$
Può andare.
Tuttavia, notato che la maggiorante $3|xy| y^2$ tende a zero per $(x,y) -> (0,0)$ (è continua), l’asserto segue dal teorema dei carabinieri.
Tuttavia, notato che la maggiorante $3|xy| y^2$ tende a zero per $(x,y) -> (0,0)$ (è continua), l’asserto segue dal teorema dei carabinieri.
Non mi è chiaro l'utilizzo del teorema dei carabinieri in questo caso: il teorema non mi permette di dire che se il limite della maggiorante e della minorante è un certo L allora il limite di ciò che sta "in mezzo" è anche L?
In questo caso avrei dovuto trovare una maggiorante con limite L = 1 e non 0. Correggimi se sbaglio
In questo caso avrei dovuto trovare una maggiorante con limite L = 1 e non 0. Correggimi se sbaglio
Nono...
Hai le disuguaglianze:
\[
0\leq \left| \frac{x^2 + y^2 - 3 x^3y^3}{x^2 + y^2} - 1 \right| \leq 3|x\ y|\ y^2
\]
intorno a $(0,0)$ coi membri esterni che tendono a zero, quindi...
Hai le disuguaglianze:
\[
0\leq \left| \frac{x^2 + y^2 - 3 x^3y^3}{x^2 + y^2} - 1 \right| \leq 3|x\ y|\ y^2
\]
intorno a $(0,0)$ coi membri esterni che tendono a zero, quindi...
Forse ho confuso un po' le cose perché pensavo al teorema dei carabinieri in se che mi dice:
$$ \lim_{x \to a}{f(x)} = L \leq g(x) \leq \lim_{x \to a}{h(x)} = L\hspace{5 mm}\Rightarrow \hspace{5 mm} \lim_{x \to a}{g(x)}= L $$
ma nel caso dell'esercizio, come hai scritto, io con il teorema dei carabinieri ho dimostrato che se
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2-3x^3y^3)/(x^2+y^2) = 1 = L $
allora $ lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) - L = 0$
che sarebbe praticamente la disuguaglianza che hai scritto tu, alla quale applico il teorema dei carabinieri
\[ 0\leq \left| \frac{x^2 + y^2 - 3 x^3y^3}{x^2 + y^2} - 1 \right| \leq 3|x\ y|\ y^2 \]
Ho capito bene? Perdonami per la verbosità, voglio essere sicuro di aver capito bene
$$ \lim_{x \to a}{f(x)} = L \leq g(x) \leq \lim_{x \to a}{h(x)} = L\hspace{5 mm}\Rightarrow \hspace{5 mm} \lim_{x \to a}{g(x)}= L $$
ma nel caso dell'esercizio, come hai scritto, io con il teorema dei carabinieri ho dimostrato che se
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2-3x^3y^3)/(x^2+y^2) = 1 = L $
allora $ lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) - L = 0$
che sarebbe praticamente la disuguaglianza che hai scritto tu, alla quale applico il teorema dei carabinieri
\[ 0\leq \left| \frac{x^2 + y^2 - 3 x^3y^3}{x^2 + y^2} - 1 \right| \leq 3|x\ y|\ y^2 \]
Ho capito bene? Perdonami per la verbosità, voglio essere sicuro di aver capito bene
Yes.
Hurray! Grazie mille per la pazienza 
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