Definizione funzione "finita"
Buongiorno,
Nel seguente esercizio c'è un termine di cui non ci hanno dato la definizione e non l'ho trovata su internet.
Fornire un esempio di una funzione finita su tutto \( \mathbb{R} \) ma che non è localmente limitata da nessuna parte.
L'esempio fornito è il seguente:
\( f(x) = \left\{\begin{matrix}
n & \text{se}\ x= \frac{m}{n} & \operatorname{MCD}(m,n)=1,\ n>0\\
0 & \text{se}\ x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}
\end{matrix}\right. \)
Se \(f \) limitata in un intorno \( U_{\delta}(x):= \{ y \in \mathbb{R} : \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \} \) allora per tutti gli \( \frac{m}{n} \in U_{\delta}(x) \) il denominatore è limitato, e dunque il numeratore pure, e abbiamo trovato un intervallo di numeri reali che contiene un numero finito di razionali. Assurdo!
Io non capisco questo esempio proprio perché non so cosa sia una funzione finita. Qualcuno potrebbe darmi la definizione di funzione finita, grazie.
Nel seguente esercizio c'è un termine di cui non ci hanno dato la definizione e non l'ho trovata su internet.
Fornire un esempio di una funzione finita su tutto \( \mathbb{R} \) ma che non è localmente limitata da nessuna parte.
L'esempio fornito è il seguente:
\( f(x) = \left\{\begin{matrix}
n & \text{se}\ x= \frac{m}{n} & \operatorname{MCD}(m,n)=1,\ n>0\\
0 & \text{se}\ x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}
\end{matrix}\right. \)
Se \(f \) limitata in un intorno \( U_{\delta}(x):= \{ y \in \mathbb{R} : \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \} \) allora per tutti gli \( \frac{m}{n} \in U_{\delta}(x) \) il denominatore è limitato, e dunque il numeratore pure, e abbiamo trovato un intervallo di numeri reali che contiene un numero finito di razionali. Assurdo!
Io non capisco questo esempio proprio perché non so cosa sia una funzione finita. Qualcuno potrebbe darmi la definizione di funzione finita, grazie.
Risposte
Si intende che f(x) è un numero reale, e non $\pm \infty $, per ogni x.
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