Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti, Se io ho un sistema di equazioni differenziali nella forma: $ x' = Ax $ dove $A$ è una matrice (supponiamo diagonalizzabile) Mi aspetto una soluzione nella forma $x = ce^(At)$ Essendo $A$ diagonalizzabile, posso scriverla come $VBV^-1$, con $V$ matrice autovettori e $B$ matrice autovalori. Quindi posso ricavare la matrice esponenziale $e^(A) = Ve^(B)V^-1$ e quindi scrivere la soluzione come: ...

Salve, ho svolto il seguente esercizio ma non sono convinto della soluzione e quindi chiedo conferma... Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione $2pi-periodica$ $f(x)={(0,if x=(-pi,0]),(pix/2 ,if x=[0,pi]):}$ Allora svolgendo i calcoli mi viene fuori $a_0 =pi^2/2 , a_k= (-1/2)2/(2h-1)^2 , b_k=1/2xpicos(kx)/k^2$ Ed è proprio quel $b_k$ che non riesco a capire come esprimerlo Avevo pensato di scriverlo come $ 1/2(-1)^kpix/k^2$ Ma non sono convinto... P.S. specifico che per il termine $a_k$ ho ovviamente già distinto i casi per ...

Buongiorno, potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio? Provare che esiste c$in$ ]1,2[ tale che: $ log(1+ sqrt(x)) +1>= x sqrt(x) $ $AA$x$in$ [0, c] Dire se la funzione $ f(x) = log(1+ sqrt(x)) +1- x sqrt(x) $ ammette estremi assoluti nel suo insieme di definizione. Grazie

Dimostrare che la seguente funzione è uniformemente continua $f(x) = log(1+x)$ su $(-1,+\infty)$. Tentativo. se $|x_n-y_n|\to 0 \Rightarrow |f(x_n)- f(y_n)| \to 0$. Prendo due successioni: $x_n= \frac{1}{n}$ $y_n= 0 $ $|x_n-y_n|= |\frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow |f(x_n)- f(y_n)|=|log(1+\frac{1}{n}) - log(1)| \to 0 $ Quindi la funzione è U.C Ho dei dubbi sulla risoluzione dell'esercizio, chiedo se qualcuno mi può confermare la correttezza dello svolgimento. Grazie

Vorrei fugare con voi un secondo dubbio che mi nasce sulle superfici: Prendiamo in esame una parametrizzazione della sfera ottenuta come rotazione attorno a z della curva- $\gamma(\phi)=(x=rcos\phi,z=rsin\phi), \phi \in[0,pi]$ e per la sfera scriveremo: $r(\phi,\theta)=(rcos\phicos\theta,rcos\phisin\theta,rsin\phi), \phi \in[0,pi], \theta \in[0,2pi)$ Primo dubbio: non capisco se sia più corretto scrivere $r(\phi,\theta)$ oppure $r(\theta,\phi)$ quale si indica prima come notazione? Vendendo al 2 dubbio vero e proprio.. Ho studiato le parametrizzazioni opposte, ma, a conti fatti, non mi è chiaro come ...

Buona sera, mi sono accorta di avere un dubbio studiando il teorema del cerchio di convergenza per serie di potenze, che in realtà va al di là di questo teorema. Nella dimostrazione, assunta $\sum_(n=0)^(+oo) a_nx^n$, infatti, noto che nel caso in cui vi sia convergenza assoluta in un certo numero di intorni che possiamo definire del tipo $0<r<\rho$ dimostrato che vale per ogni $r$ tra $0$ e $\rho$ alla fine concludo essere valida la conv. assoluta su ...

Salve, sto trovando un po' di difficoltà con i limiti a due variabili. Ho svolto questo esercizio, ma non so fino a che punto è corretto. Ve lo mostro e vi ringrazio ancora una volta per la disponibilità. Verificare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) (3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)=2 $ Procedo per restrizioni su rette: $ y=m(x-x_0)+y_0 $ e quindi $ y=mx $ $ f(x,mx)=(3x^3+2x^2+2m^2x^2)/(x^2+m^2x^2) = (3x+2+2m^2)/ (1+m^2) $ che passando al limite $ lim_(x -> 0) (3x+2+2m^2)/(1+m^2)=2 $ Provo a cambiare "percorso", e ne scelgo uno non lineare, ad esempio la parabola di equazione ...

Buongiorno a tutti, vi chiedo aiuto per questo studio di funzione. Sono incappato in questo problema che non riesco a capire, sicuramente per un errore concettuale, ma non riesco a venirne a capo. Il testo dell'esercizio è: \(\displaystyle \text{Studiare il grafico della funzione } f(x) = \sqrt{x} \left|1 + \frac{1}{\ln x} \right| \) In particolare il problema riguarda il limite per x tendende a 1. Infatti dalla definizione di modulo segue che \(\displaystyle f(x) = \sqrt{x} \left( 1 + ...

salve a tutti: mi ritrovo ad affrontare questi 2 esercizi che non riesco proprio a capire come risolverli, avrei bisogno di un vostro aiuto. non voglio solo capire come risolverlo, ma avrei bisogno di una spiegazione/regola che mi faccia capire come affrontare questa tipologia d'esercizio. Grazie!:wink: supposto che $ f(0)=-3$ e$ fprime(x)<=4$ , dire quale è la disuguaglianza corretta: $ [1]f(2)>=10$ $ [2] f(3)<=9$ $ [3]f(2)<=10$ $ [4]f(2)>=9$ supposto ...

Salve a tutti, mi è sorto un dubbio durante la risoluzione di due limiti di funzione in due variabili: a) $lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x^2+y^2)^(3/2)$ b)$lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x^2+y^2)^(2/3)$ Ho provato a svolgerli, ma il procedimento è parziale in quanto non so arrivare ad una conclusione: a) $$x = 0 \Rightarrow \lim_{y \to 0} \frac{1}{y^{3}} = \nexists \hspace{10 mm} y = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} = \nexists$$ $$y = mx \Rightarrow \lim_{y \to 0} \frac{1}{(x^{2} + ...

Salve per risolvere il seguente limite ho fatto in questo modo però non sono molto convinto della correttezza del risultato \( \lim_{n \to \infty} (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} \) \( (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} = e^{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}}} = e^{\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \) Per \( n \to + \infty \) \( {\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \to 0 \) per la scala degli infiniti (è qui che sono incerto dello svolgimento perché ...

Buon pomeriggio a tutti, ho da poco iniziato a studiare la tipologia d'esercizio anticipata nel titolo e in uno dei tanti esercizi presenti nelle prove d'esame vecchie, sto trovando delle difficoltà nella risoluzione... Di seguito il procedimento fino al punto che mi ha bloccato. $int int (1/(sqrt(x^2 + y^2)))dx dy$ $D=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; y>x )$ e da qui $D=(-2<= x <= 0; sqrt(-x^2 +1) <= y <= sqrt(-x^2 +4))$ A questo punto: $int_(-2)^(0) dx int_(sqrt(-x^2 +1))^(sqrt(-x^2 +4)) 1/(sqrt(x^2 + y^2)) dy$ e qui mi sono fermato... L'integrale in $dy$ come si svolge? Grazie in anticipo

salve ragazzi. dato il limite: $ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cos(x))/(1-cos^2(x)) $ pensavo di svolgerlo utilizzano gli sviluppi di Taylor: $ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $ $ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $ $ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24 $ $ cos^2(x)=1-x^4/2+x^8/24 $ sostituisco con gli sviluppi all'intero dell'limite: $ lim_(x -> 0) (1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x^2/2+o(x^2))/(1-1-x^4/2) $ l'impostazione e gli sviluppi sono corretti? come vado avanti? Grazie!

Ciao a tutti, ho un problema con questi due integrali, come potrei risolverli? Io ho provato sia con sostituzine, che per parti, ma non sono arrivato ad alcun risultato. $∫arctan((2x)/(1+3x^2))dx$ $∫_0^∞ logx/(x^2+2x+4)dx$ Purtroppo so solo il risultato del secondo $(πln(2))/(3√3)$

Buongiorno ragazzi, come da titolo vorrei avere una spiegazione sul seguente esercizio: $ int int_(D)^( )(e^x+xy) dx dy $ dove D è un triangolo dato dai unti (0;0) (1;1) (1;-1) Ora l'esercizio non è troppo difficile ma una cosa un po' mi ha messo in crisi ed è la seguente: come mai il dominio è normale rispetto all'asse x ma non all'asse y? Inserisco delle foto per rendere meglio l'idea di ciò che sto cercando di dire. Qui è rappresentato il dominio normale ad x, e risulta 0

Salve, ho svolto questo esercizio più e più volte ma non mi trovo con il risultato. La traccia mi chiede di risolvere l'equazione differenziale usando il metodo della variazione delle costanti. $ y''-3y'+2y=2e^(2x) $ Vi posto il mio procedimento. Mi sono trovato l'omogenea associata e le sue soluzioni: $ lambda ^2 -3lambda + 2=0 $ che ha come sol. $ y_0=C_1e^x+C_2e^(2x) $. Ora devo trovare una soluzione del tipo: $ y_p=gamma_1e^x+gamma_2e^(2x) $ (1) $ { ( gamma_1'e^x+gamma_2'e^(2x)=0 ),( gamma_1'e^x + 2gamma_2'e^(2x)=2e^(2x) ):} $ Ora applico Cramer per trovarmi le soluzioni: ...

$e^(1/(x(1-x)^2)$ Devo fare $e^x*f'(x)$ Dunque $f'(x)=-(3x^2-4x+1)/[x(1-x)^2]^2$ L'intera derivata sarà -$(e^(1/(x(1-x)^2)))*(3x^2-4x+1)/[x(1-x)^2]^2$ Guardando il risultato però non risulta come mai? Vi trovate come ho fatto io?

Buonasera, sono da un ora davanti a questo esercizio e non ho assolutamente idea di come procedere. Data la funzione $f(x) = (e^-(x^2) - 1) / x$ • Trovare il suo sviluppo di Mc Laurin specificandone il raggio di convergenza. Su questo punto mi blocco. Ho studiato tutti gli sviluppi notevoli, tuttavia non ho assolutamente idea di come potermi ricondurre a questa funzione. Ho bisogno di un aiuto. Il problema contiene altri due punti che riguardano l'integrazione per serie, dovrei essere in grado di ...

Salve a tutti! Sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare eventuali asintoti di questa funzione: $f(x)=(x^2-2x)/(x^2-4)$ La funzione, ovviamente non è definita in -2 e 2. Il risultato del limite per x che tende a 2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok. Scompongo: $(x ( x - 2 )) / ((x+2) (x-2))$ Semplifico, quindi: $(x)/(x+2)$ Ebbene, 1° dubbio. Facendo limite per x che tende a 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa ...

Buonasera, ho deciso di registrarmi per cercare di risolvere con qualcuno un dubbio che mi attanaglia: la radice di un numero complesso. Ho capito il motivo per cui esce una funzione polidroma, in particolare perché si può vedere come una soluzione di una particolare equazione esponenziale e l'esponenziale complesso ha la proprietàdi essere periodica:si aggiunge un 2kπ. Tuttavia mi chiedo perché l'elevazione a potenza non subisa il medesimo problema, mi spiego (o almeno ci provo): sia ...