Analisi matematica di base

$/1/(sqrt(x^2-2x+2)-x)$ allora premetto che di questo integrale mi interessa sapere soltanto la sostituzione perchè risolvendo come ho fatto io mi trovo un risultato diverso(credo che però sia per questioni di approssimazioni) però l'integrale è risolto bene 100% $sqrt(x^2-2x+2)-x=t$ $x=(2-t^2)/(2(t+1))$ $dx=-(t^2+2t+2)/(2(t^2+2t+1))$ e quindi l'integrale da risolvere è $-1/2int (t^2+2t+2)/(t(t+1)^2)$ giusto?

Ciao a tutti, in una prova di Analisi II ho trovato questo esercizio. Sia A la regione racchiusa dalla curva \( \gamma(t)=(\sin{(3t)\sin{(t)}},\sin{(3t)\cos{(t)}}) \) con \( t\in[0,2\pi] \). Calcolare l'area racchiusa dalla curva. Osservo inizialmente che la curva è chiusa ma "doppia". Basterebbe considerarla solo in $[0,\pi]$. Io ho usato la formula di Gauss-Green \( Area(A)=|\displaystyle\int_\gamma xdy|=|\int_{0}^{\pi} ...

Ciao a tutti, è il mio primo post quindi spero di scrivere tutto correttamente. Ho dei dubbi su alcuni esercizi in preparazione all'esame di Analisi ad esempio: Nell'ambito delle successioni, dare la definizione corrispondente ad \(\displaystyle a_n \sim b_n \) e quindi stabilire se è vero oppure falso che: \(\displaystyle \lim a_n = \lim b_n \Longrightarrow a_n \sim b_n \) [*:162tjh6y] Per quanto riguarda la definizione non penso ci siano problemi e risponderei in questo ...

Buongiorno a tutti, questo è il mio primo post. Chiedo aiuto su come dimostrare in maniera matematicamente rigorosa come il rendimento del ciclo Otto sia superiore a quello Diesel a parità di rapporto di compressione volumetrico. Riporto le formule qui sotto \( \eta _{Otto}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \) \( \eta _{Diesel}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \cdot {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}} \) dove: \(\cdot\) k è il coefficiente della trasformazione adiabaica del gas cioè il rapporto tra il calore ...

Buonasera, mi sto dilettando in esercizi sui flussi di campi vettoriali, che sto provando a risolvere sia con che senza il teorema della divergenza. Nello specifico, il seguente problema mi lascia per strada con entrambi i modi (per informazione, il risultato corretto è $4pi32/5$): Calcolare $phi(F)$ attraverso la superficie sferica S centrata nell'origine di raggio 2, con $F(x,y,z)=yvec(i)+xvec(j)+z^3vec(k)$ Inizialmente ho provato senza divergenza. Parametrizzo la superficie in coordinate ...

Ciao e buon anno! Sto (più o meno) cercando di provare che la funzione esponenziale è suriettiva attraverso dei risultati sui sottogruppi moltiplicativi di \( \mathbb{R}_{>0} \). Premetto i seguenti: Lemma (1): Sia \( H \) un sottogruppo moltiplicativo dei reali. Se l'intersezione di \( H \) con l'intervallo aperto \( \left]0,+\infty\right[ \) non ammette minimo, allora \( H \) è denso in \( \mathbb{R}_{>0} \). Lemma (2): Sia \( X \) un intervallo reale, \( f\colon X\to\mathbb{R} \) ...

Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente esercizio. Dato il campo vettoriale \( F(x,y)=(-\frac{xy^2}{x^4+y^4},\frac{x^2y}{x^4+y^4}) \) , stabilire se è conservativo nel suo dominio ed eventualmente determinare un potenziale. Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio non è semplicemente connesso, il campo è di classe C^1 e il quadrato \( \gamma \) di centro l'origine e lato 2 con vertice nei punti (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1) è una curva ...

$lim_(xto+infty)((x^3+3x^2+5)/(x^3+3))^(x^2+sinx)$ Io avevo pensato a questo risoluzione $lim_(xto+infty)((x^3+3)/(x^3+3)+(3x^2+2)/(x^3+3)))^(x^2)$ $lim_(xto+infty)(1+(3/x)^(x))^x$ $lim_(xtoinfty)(e^3)^x=+infty$ giusto o è sbagliato?

Ciao, ho un dubbio sulle superfici di rotazione, mi sono state spiegate nel caso di rotazione attorno ad z di curve nel piano y,z. ES: mettiamo di avere la semicirconferenza: $\gamma(\phi)=(x=rcos\phi,z=rsin\phi), \phi \in[0,pi]$ allora per ottenere la sfera si avrà: $r(\phi,\theta)=(rcos\phicos\theta,rcos\phisin\theta,rsin\phi), \phi \in[0,pi], \theta \in[0,2pi)$ Se ad esempio volessi descrivere la rotazione della semicirconferenza sul pinao x,y attorno ad y ho pensato sarebbe così: $\gamma(\phi)=(x=rcos\phi,y=rsin\phi), \phi \in[0,pi]$ e la sup. di rotazione l'ho pensata dicendo: beh la quota y è data da $y=rsin\phi$ e la ...

Buonasera ragazzi propongo un esercizio: Studio qualitativo di questa equazione differenziale: $ y'=y/(x^2+y^2-1)$ con $ y(a) = c $, dove $0<c<1$ e $(a,b)$ intervallo di definizione di $y$. 1) Provare che $y>0$ in $(a,b)$ Per fare ciò ho iniziato studiando la regolarità della $y'$. Deve essere: $x^2+y^2-1 != 0$ che implica $ x^2 +y^2 != 1$ Di conseguenza dobbiamo considerare per il problema di Cauchy ( dal momento ...

Scusate ragazzi, è da un'oretta che tento la risoluzione di un problema sulle applicazioni delle derivate per il calcolo di max e min. L'esercizio dice: Dimostrare che un triangolo di lati $a$, $b$ e $c$ del quale è conosciuta la base $b$ e il perimetro $P$ ha area massima se è isoscele. Io ho fatto così: 1. Si nota subito che ciò che si deve derivare è la funzione dell'aria del triangolo $A(h)=(bh)/2$. Adesso l'idea era ...

chi mi aiuta con quest'altro integrale? $ \int_{0}^{+\infty } \frac{ 3x^2\cdot sin(x^3)}{ x^{4\alpha}} dx $ con $ \alpha>0 $ ho spezzato in due l'integrale in: $ \int_{0}^{c} f(x)\, dx + \int_{c}^{+\infty} f(x)\, dx $ $ f(x) $ per $ x\rightarrow 0^+ $ è positiva e asintoticamente equivalente a $ \frac{3x^2\cdotx^3}{x^{4\alpha} $ che è uguale a $ \frac{3x^5}{x^{4\alpha} $ che converge se e solo se $4\alpha-5<1 $ ossia se $\alpha<3/2 $ per $ x \to +\infty $ la funzione non è positiva quindi è necessario studiarne il modulo, allora avremo che $ |f(x)| $ è asintoticamente equivalente a ...

ciao a tutti! ho un dubbio su uno studio di funzione, in particolare sulla ricerca dell'asintoto obliquo. la funzione è la seguente $ f(x)=x^2+5x-11-|x^2+x-6|$ abbiamo che f è definita in tutto R e che non è derivabile in $ x=-3, x=2 $ sciolgo il modulo: $ f(x)=4x-5$ se $ x<-3,x>2 $ $ f(x)=2x^2+6x-17 $ se $ -3<x<2 $ quando vado a calcolare il $ \lim_{x\rightarrow\pm\infty } f(x)/x $ devo considerare il primo ramo ( $ x<-3,x>2 $ ) giusto? se considero quel ramo mi viene $m=4$ e ...

Definizione che hanno dato a me: Sia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione di classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) e sia la sua serie di Taylor \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \) in un intorno di \( x_0 \). Supponiamo che il raggio di convergenza \( R= R(x_0) \) sia non nullo. Se esiste \( \epsilon > 0 \), \( \epsilon < R \) tale che \( f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \) , \( \forall x \in ]x_0 - \epsilon, x_0 ...

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto nello svolgere questo esercizio: - Il volume e l'area della superficie laterale della porizione di iperboloide $z^2 = x^2 + y^2 -1$ compresa fra i piani $z = 0$ e $z = 1$ Per il volume avrei impostato l'integrale in questo modo: Considerando che il raggio della circonferenza mi varia come $(1+z^2)^(1/2)$ $int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)int_(0)^((1+z^2)^(1/2))pdtdzdp$ = $4/3pi$ Mentre non riesco ad impostarlo per calcolare l'area, ho applicato la formula ...

$ f(x,y)=|x+y|(3x^2+2xy+y^2) $ Studiare la differenziabilità $ f1(x,y)=-(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=-(3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3) $ $ f2(x,y)=(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3 $ Il caso x=-y richiede di essere discusso, mentre nei casi restanti le funzioni sono derivabili con continuità in maniera molto evidente e quindi la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale. Nel caso di f1: $ (partial f1)/(partial x) (x,-x)=-2x^2 $ e $ (partial f1)/(partial y) (x,-x)=-2x^2 $ Nel caso di f2: $ (partial f2)/(partial x) (x,-x)=2x^2 $ e $ (partial f2)/(partial y) (x,-x)=2x^2 $ Dunque i gradienti sono sempre diversi (e ciò vuol dire che per x=-y la ...

Sia $γ(θ)=((rcos(θ)),(rsen(θ)), (rsen(θ)+rcos(θ)))$ $,θin[0,2pi]$ Dimostrare che è un ellisse. Ho verificato che è chiusa in quanto periodica di periodo $2pi$, che è piana dato che giace sul piano $π:x+y-z=0$ (si vede a occhio). Però per applicare la definizione dell'ellisse avrei bisogno dei fuochi. Come faccio a trovarli? Concettualmente mi sembra di capire che è la proiezione della circonferenza $γ_1(θ)=((rcos(θ)), (rsen(θ)),(0))$ sul piano $π$ però non mi viene in mente come determinare i fuochi.

Ciao, ho ancora tanti dubbi su come parametrizzare la frontiera di un dominio e su come calcolare il flusso di un campo. Spero qualcuno riesca a spiegarmi come risolvere questo tipo di esercizi. Si consideri la regione \(\displaystyle D=\{(x,y,z): 2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1+x^2+y^2 \} \) 1) Scrivere una parametrizzazione della frontiera $\delta D$ e tracciare un disegno qualitativo. 2) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie della ...

Data $(1+x^2)y+e^xy^3+cos(x+y)=0$ devo verificare se vale il teorema delle funzioni implicite in un intorno di $(0,0)$ e non vale perché $f(0,0)\ne 0$, poi l'esercizio chiede di dire se ammette un'unica funzione $y=\phi(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$ ma in questo caso dato che non vale il TFI come va fatta la verifica?

Ciao a tutti, ho problemi con questo esercizio. (In realtà il problema è questo tipo di funzioni definite così). Dovrei provare a vedere se è continua nel suo dominio questa funzione. $f(x,y)=\frac{x(x^2+y^2)}{y}$ se $y\ne 0$ e vale 0 se $y=0$. Il problema è sull'asse x chiaramente. Lavoriamo per esempio nell'origine. Non si possono usare le polari a prima vista, l'unica è usare le restrizioni (cioè far vedere che l'inf dei delta al variare dei parametri direttori delle rette è ...