Analisi matematica di base

Ciao a tutti, è il mio primo post quindi spero di scrivere tutto correttamente. Ho dei dubbi su alcuni esercizi in preparazione all'esame di Analisi ad esempio: Nell'ambito delle successioni, dare la definizione corrispondente ad \(\displaystyle a_n \sim b_n \) e quindi stabilire se è vero oppure falso che: \(\displaystyle \lim a_n = \lim b_n \Longrightarrow a_n \sim b_n \) [*:162tjh6y] Per quanto riguarda la definizione non penso ci siano problemi e risponderei in questo ...

Buongiorno a tutti, questo è il mio primo post. Chiedo aiuto su come dimostrare in maniera matematicamente rigorosa come il rendimento del ciclo Otto sia superiore a quello Diesel a parità di rapporto di compressione volumetrico. Riporto le formule qui sotto \( \eta _{Otto}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \) \( \eta _{Diesel}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \cdot {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}} \) dove: \(\cdot\) k è il coefficiente della trasformazione adiabaica del gas cioè il rapporto tra il calore ...

Buonasera, mi sto dilettando in esercizi sui flussi di campi vettoriali, che sto provando a risolvere sia con che senza il teorema della divergenza. Nello specifico, il seguente problema mi lascia per strada con entrambi i modi (per informazione, il risultato corretto è $4pi32/5$): Calcolare $phi(F)$ attraverso la superficie sferica S centrata nell'origine di raggio 2, con $F(x,y,z)=yvec(i)+xvec(j)+z^3vec(k)$ Inizialmente ho provato senza divergenza. Parametrizzo la superficie in coordinate ...

Ciao e buon anno! Sto (più o meno) cercando di provare che la funzione esponenziale è suriettiva attraverso dei risultati sui sottogruppi moltiplicativi di \( \mathbb{R}_{>0} \). Premetto i seguenti: Lemma (1): Sia \( H \) un sottogruppo moltiplicativo dei reali. Se l'intersezione di \( H \) con l'intervallo aperto \( \left]0,+\infty\right[ \) non ammette minimo, allora \( H \) è denso in \( \mathbb{R}_{>0} \). Lemma (2): Sia \( X \) un intervallo reale, \( f\colon X\to\mathbb{R} \) ...

Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente esercizio. Dato il campo vettoriale \( F(x,y)=(-\frac{xy^2}{x^4+y^4},\frac{x^2y}{x^4+y^4}) \) , stabilire se è conservativo nel suo dominio ed eventualmente determinare un potenziale. Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio non è semplicemente connesso, il campo è di classe C^1 e il quadrato \( \gamma \) di centro l'origine e lato 2 con vertice nei punti (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1) è una curva ...

$lim_(xto+infty)((x^3+3x^2+5)/(x^3+3))^(x^2+sinx)$ Io avevo pensato a questo risoluzione $lim_(xto+infty)((x^3+3)/(x^3+3)+(3x^2+2)/(x^3+3)))^(x^2)$ $lim_(xto+infty)(1+(3/x)^(x))^x$ $lim_(xtoinfty)(e^3)^x=+infty$ giusto o è sbagliato?

Ciao, ho un dubbio sulle superfici di rotazione, mi sono state spiegate nel caso di rotazione attorno ad z di curve nel piano y,z. ES: mettiamo di avere la semicirconferenza: $\gamma(\phi)=(x=rcos\phi,z=rsin\phi), \phi \in[0,pi]$ allora per ottenere la sfera si avrà: $r(\phi,\theta)=(rcos\phicos\theta,rcos\phisin\theta,rsin\phi), \phi \in[0,pi], \theta \in[0,2pi)$ Se ad esempio volessi descrivere la rotazione della semicirconferenza sul pinao x,y attorno ad y ho pensato sarebbe così: $\gamma(\phi)=(x=rcos\phi,y=rsin\phi), \phi \in[0,pi]$ e la sup. di rotazione l'ho pensata dicendo: beh la quota y è data da $y=rsin\phi$ e la ...

Buonasera ragazzi propongo un esercizio: Studio qualitativo di questa equazione differenziale: $ y'=y/(x^2+y^2-1)$ con $ y(a) = c $, dove $0<c<1$ e $(a,b)$ intervallo di definizione di $y$. 1) Provare che $y>0$ in $(a,b)$ Per fare ciò ho iniziato studiando la regolarità della $y'$. Deve essere: $x^2+y^2-1 != 0$ che implica $ x^2 +y^2 != 1$ Di conseguenza dobbiamo considerare per il problema di Cauchy ( dal momento ...

Scusate ragazzi, è da un'oretta che tento la risoluzione di un problema sulle applicazioni delle derivate per il calcolo di max e min. L'esercizio dice: Dimostrare che un triangolo di lati $a$, $b$ e $c$ del quale è conosciuta la base $b$ e il perimetro $P$ ha area massima se è isoscele. Io ho fatto così: 1. Si nota subito che ciò che si deve derivare è la funzione dell'aria del triangolo $A(h)=(bh)/2$. Adesso l'idea era ...

chi mi aiuta con quest'altro integrale? $ \int_{0}^{+\infty } \frac{ 3x^2\cdot sin(x^3)}{ x^{4\alpha}} dx $ con $ \alpha>0 $ ho spezzato in due l'integrale in: $ \int_{0}^{c} f(x)\, dx + \int_{c}^{+\infty} f(x)\, dx $ $ f(x) $ per $ x\rightarrow 0^+ $ è positiva e asintoticamente equivalente a $ \frac{3x^2\cdotx^3}{x^{4\alpha} $ che è uguale a $ \frac{3x^5}{x^{4\alpha} $ che converge se e solo se $4\alpha-5<1 $ ossia se $\alpha<3/2 $ per $ x \to +\infty $ la funzione non è positiva quindi è necessario studiarne il modulo, allora avremo che $ |f(x)| $ è asintoticamente equivalente a ...

ciao a tutti! ho un dubbio su uno studio di funzione, in particolare sulla ricerca dell'asintoto obliquo. la funzione è la seguente $ f(x)=x^2+5x-11-|x^2+x-6|$ abbiamo che f è definita in tutto R e che non è derivabile in $ x=-3, x=2 $ sciolgo il modulo: $ f(x)=4x-5$ se $ x<-3,x>2 $ $ f(x)=2x^2+6x-17 $ se $ -3<x<2 $ quando vado a calcolare il $ \lim_{x\rightarrow\pm\infty } f(x)/x $ devo considerare il primo ramo ( $ x<-3,x>2 $ ) giusto? se considero quel ramo mi viene $m=4$ e ...

Definizione che hanno dato a me: Sia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione di classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) e sia la sua serie di Taylor \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \) in un intorno di \( x_0 \). Supponiamo che il raggio di convergenza \( R= R(x_0) \) sia non nullo. Se esiste \( \epsilon > 0 \), \( \epsilon < R \) tale che \( f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \) , \( \forall x \in ]x_0 - \epsilon, x_0 ...

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto nello svolgere questo esercizio: - Il volume e l'area della superficie laterale della porizione di iperboloide $z^2 = x^2 + y^2 -1$ compresa fra i piani $z = 0$ e $z = 1$ Per il volume avrei impostato l'integrale in questo modo: Considerando che il raggio della circonferenza mi varia come $(1+z^2)^(1/2)$ $int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)int_(0)^((1+z^2)^(1/2))pdtdzdp$ = $4/3pi$ Mentre non riesco ad impostarlo per calcolare l'area, ho applicato la formula ...

$ f(x,y)=|x+y|(3x^2+2xy+y^2) $ Studiare la differenziabilità $ f1(x,y)=-(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=-(3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3) $ $ f2(x,y)=(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3 $ Il caso x=-y richiede di essere discusso, mentre nei casi restanti le funzioni sono derivabili con continuità in maniera molto evidente e quindi la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale. Nel caso di f1: $ (partial f1)/(partial x) (x,-x)=-2x^2 $ e $ (partial f1)/(partial y) (x,-x)=-2x^2 $ Nel caso di f2: $ (partial f2)/(partial x) (x,-x)=2x^2 $ e $ (partial f2)/(partial y) (x,-x)=2x^2 $ Dunque i gradienti sono sempre diversi (e ciò vuol dire che per x=-y la ...

Sia $γ(θ)=((rcos(θ)),(rsen(θ)), (rsen(θ)+rcos(θ)))$ $,θin[0,2pi]$ Dimostrare che è un ellisse. Ho verificato che è chiusa in quanto periodica di periodo $2pi$, che è piana dato che giace sul piano $π:x+y-z=0$ (si vede a occhio). Però per applicare la definizione dell'ellisse avrei bisogno dei fuochi. Come faccio a trovarli? Concettualmente mi sembra di capire che è la proiezione della circonferenza $γ_1(θ)=((rcos(θ)), (rsen(θ)),(0))$ sul piano $π$ però non mi viene in mente come determinare i fuochi.

Ciao, ho ancora tanti dubbi su come parametrizzare la frontiera di un dominio e su come calcolare il flusso di un campo. Spero qualcuno riesca a spiegarmi come risolvere questo tipo di esercizi. Si consideri la regione \(\displaystyle D=\{(x,y,z): 2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1+x^2+y^2 \} \) 1) Scrivere una parametrizzazione della frontiera $\delta D$ e tracciare un disegno qualitativo. 2) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie della ...

Data $(1+x^2)y+e^xy^3+cos(x+y)=0$ devo verificare se vale il teorema delle funzioni implicite in un intorno di $(0,0)$ e non vale perché $f(0,0)\ne 0$, poi l'esercizio chiede di dire se ammette un'unica funzione $y=\phi(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$ ma in questo caso dato che non vale il TFI come va fatta la verifica?

Ciao a tutti, ho problemi con questo esercizio. (In realtà il problema è questo tipo di funzioni definite così). Dovrei provare a vedere se è continua nel suo dominio questa funzione. $f(x,y)=\frac{x(x^2+y^2)}{y}$ se $y\ne 0$ e vale 0 se $y=0$. Il problema è sull'asse x chiaramente. Lavoriamo per esempio nell'origine. Non si possono usare le polari a prima vista, l'unica è usare le restrizioni (cioè far vedere che l'inf dei delta al variare dei parametri direttori delle rette è ...

$lim_(xto0+) sin(x^2+sqrtx) / (tanx )$ allora avevo pensato al numeratore di raccogliere $sqrtx$ $lim_(xto0+) sin(sqrtx(1+x^2/sqrtx) )/ ((tanx )*x/x)$ $lim_(xto0+) ( sin(sqrtx) *sqrtx)/((sqrtx )(x))$ $lim_(xto0+) (sqrtx)/(x)=+infty$ il mio dubbio sta alla base dell'esercizio ovvero quel raccoglimento lo posso fare?

Ciao, Sto studiando la convergenza (assoluta e non) di questa serie al variare di $a in RR$ $sum_(n=1)^{+infty}(2+sinn)/n^a$ Come ho fatto: La serie è a termini positivi: converge se e solo se converge assolutamente. Mi sono fatto un'idea usando la condizione necessaria di convergenza. $lim_(n to +infty)(2+sinn)/n^a={(+inftytext( per )a<0),(text(non esiste per )a=0),(0 text( per )a>0):}$ Da cui si vede che la serie può convergere solo per $a>0$. Poi con il criterio del confronto: $(2+sinn)/n^a<=3/n^a$ Da cui se $a>1$ la serie converge assolutamente. Resta da ...