[RISOLTO] Ricavare il teo Fondamentale del Calcolo dal teo della Divergenza
Ciao a tutti!
Non mi è chiaro come si deduce il teorema fondamentale del calcolo integrale dal teorema della divergenza.
Io so che
\(\displaystyle \int_{\Omega} divF = \int_{\partial\Omega^+}ds\)
In dimensione 1 abbiamo che F è scalare; \(\displaystyle \Omega=(a,b) \) è intervallo e la normale n vale +1 supponendo f crescente; \(\displaystyle \partial\Omega=\{a,b\} \) intesa come frontiera dell'intervallo. Fin qui mi sembra tutto chiaro.
Ora parametrizzo l'intervallo con \(\displaystyle \gamma(t)=t, t\in (a,b) \)
Ciò che mi è oscuro è il significato da dare all'integrale appena ottenuto dall'integrale curvilineo:
\(\displaystyle \int_{\{a,b\}} f(t)dt\)
1. l'integrale su due punti dovrebbe essere pari a 0
2. perché invece è pari a \(\displaystyle f(b)-f(a) \)?
Non mi è chiaro come si deduce il teorema fondamentale del calcolo integrale dal teorema della divergenza.
Io so che
\(\displaystyle \int_{\Omega} divF = \int_{\partial\Omega^+}
In dimensione 1 abbiamo che F è scalare; \(\displaystyle \Omega=(a,b) \) è intervallo e la normale n vale +1 supponendo f crescente; \(\displaystyle \partial\Omega=\{a,b\} \) intesa come frontiera dell'intervallo. Fin qui mi sembra tutto chiaro.
Ora parametrizzo l'intervallo con \(\displaystyle \gamma(t)=t, t\in (a,b) \)
Ciò che mi è oscuro è il significato da dare all'integrale appena ottenuto dall'integrale curvilineo:
\(\displaystyle \int_{\{a,b\}} f(t)dt\)
1. l'integrale su due punti dovrebbe essere pari a 0
2. perché invece è pari a \(\displaystyle f(b)-f(a) \)?
Risposte
Cos’è $text(d) s$ per un insieme $0$-dimensionale?
In altri termini, rispetto a quale misura concentrata sul bordo di $[a,b]$ stai integrando?
In altri termini, rispetto a quale misura concentrata sul bordo di $[a,b]$ stai integrando?
"gugo82":
Cos’è $text(d) s$ per un insieme $0$-dimensionale?
In altri termini, rispetto a quale misura concentrata sul bordo di $[a,b]$ stai integrando?
Noi abbiamo definito
\(\displaystyle ds:=||\gamma'(t)||dt \)
Non ho idea di cosa significhi in dimensione 0
Studi Analisi II, allora?
Perché posti in Analisi Superiore?
[xdom="gugo82"]Sposto in Analisi Matematica di Base.[/xdom]
Per venire al tuo dubbio, innanzitutto tieni presente che è una questione intuitiva e non hai ancora gli strumenti per formalizzare compiutamente la cosa.
Detto ciò, l’idea sotto questo fatto è che l’integrale “curvilineo” (che, bada bene, non coincide con l’integrale di Riemann sullo spazio ambiente, perché è definito su insiemi che hanno “una dimensione in meno”) sull’insieme $\{a,b\} subset RR$ sia definito come somma dei valori assunti da $f$ nei punti $a$ e $ b$ moltiplicati ognuno per un fattore di segno $+- 1$ che tiene conto dell’orientamento della normale esterna rispetto alla direzione scelta sull’asse.
In particolare, visto che il versore normale esterno in $b$ all’intervallo $[a,b]$ è parallelo è concorde col versore dell’asse reale, mentre il versore normale esterno in $a$ è parallelo e discorde col versore dell’asse, l’integrale curvilineo è dato da $f(b)*1+f(a)*(-1) = f(b) - f(a)$.
Perché posti in Analisi Superiore?
[xdom="gugo82"]Sposto in Analisi Matematica di Base.[/xdom]
Per venire al tuo dubbio, innanzitutto tieni presente che è una questione intuitiva e non hai ancora gli strumenti per formalizzare compiutamente la cosa.
Detto ciò, l’idea sotto questo fatto è che l’integrale “curvilineo” (che, bada bene, non coincide con l’integrale di Riemann sullo spazio ambiente, perché è definito su insiemi che hanno “una dimensione in meno”) sull’insieme $\{a,b\} subset RR$ sia definito come somma dei valori assunti da $f$ nei punti $a$ e $ b$ moltiplicati ognuno per un fattore di segno $+- 1$ che tiene conto dell’orientamento della normale esterna rispetto alla direzione scelta sull’asse.
In particolare, visto che il versore normale esterno in $b$ all’intervallo $[a,b]$ è parallelo è concorde col versore dell’asse reale, mentre il versore normale esterno in $a$ è parallelo e discorde col versore dell’asse, l’integrale curvilineo è dato da $f(b)*1+f(a)*(-1) = f(b) - f(a)$.
Scusami, ho capito ora la differenza tra Analisi di base e superiore.
Ti ringrazio per avermi chiarito la mia domanda
Ti ringrazio per avermi chiarito la mia domanda
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